11 класс. 1. Центр сферы на поверхности правильного тетраэдра DABC с вершиной D, на которой также лежат точки A, B

Задача 1:

Для начала, нам необходимо найти радиус сферы, центр которой находится на поверхности правильного тетраэдра.

Задачу мы будем решать методом сочетания теоремы Пифагора и свойства высоты правильного тетраэдра.

Высота тетраэдра равна 2√6 см. Рассмотрим правильный треугольник ADE, который образуется основанием тетраэдра и проведенной высотой.

По теореме Пифагора:

AD^2 = AE^2 + DE^2

Где AD - сторона основания, DE - высота, AE - искомая сторона треугольника ADE.

Так как ADE - правильный треугольник, все его стороны равны. Значит, AE = DE = 2√6 см.

Подставляем значения в формулу:

AD^2 = (2√6)^2 + (2√6)^2

AD^2 = 4*(6) + 4*(6)

AD^2 = 24 + 24

AD^2 = 48

AD = √48

AD = 4√3

Теперь мы знаем длину стороны основания тетраэдра AD. Так как AD - это радиус сферы, мы можем найти площадь сферы при помощи формулы площади поверхности сферы:

S = 4πR^2

Где S - площадь поверхности сферы, R - радиус сферы.

Подставляем значения:

S = 4π*(4√3)^2

S = 4π*48

S = 192π

Таким образом, площадь сферы равна 192π квадратных сантиметра.

Задача 2:

а) Чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, нам необходимо знать радиус основания цилиндра.

Дано, что площадь основания цилиндра равна 8 см^2. Так как площадь основания цилиндра равна πr^2, где r - радиус, мы можем найти значение радиуса:

8 = πr^2

r^2 = 8/π

r = √(8/π)

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, мы применим формулу площади круга:

S = πr^2

Подставляем значение радиуса:

S = π*(√(8/π))^2

S = π*(8/π)

S = 8

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна 8 квадратных сантиметров.

б) Чтобы найти площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно оси и образующего четверть окружности на основании, нам необходимо знать радиус основания и высоту такого сечения.

Дано, что полная поверхность цилиндра равна 130π см^2. Полная поверхность цилиндра состоит из площадей основания и боковой поверхности. Площадь боковой поверхности равна 2πrh, где r - радиус, h - высота цилиндра.

Мы можем найти радиус, используя информацию о площади основания цилиндра, как мы делали в предыдущей задаче.

Далее, вычитаем площадь боковой поверхности из полной поверхности, чтобы получить площадь верхнего основания цилиндра (сечения):

130π - 2πrh = S

Теперь, чтобы найти высоту цилиндра h, мы можем воспользоваться формулой объема цилиндра:

V = πr^2h

h = V/(πr^2)

Но в задаче нам дано только полная поверхность цилиндра.

Мы можем записать связь между объемом и полной поверхностью:

V = S основания * h

V = πr^2 * h

Подставляем полученные значения:

130π = πr^2 * h

h = 130/r^2

Теперь, зная h, мы можем выразить S (площадь верхнего основания цилиндра) и S (площадь сечения цилиндра) с использованием формулы площади круга:

S = πr^2

S (сечения) = πr^2 * (1/4)

Подставляем значения:

S (сечения) = π(√(8/π))^2 * (1/4)

S (сечения) = 8/4

S (сечения) = 2

Таким образом, площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно оси и образующего четверть окружности на основании, равна 2 квадратным сантиметрам.

Задача 3:

Для начала, нам необходимо найти площадь поверхности фигуры, полученной при вращении треугольника.

Мы можем воспользоваться формулой площади поверхности тела вращения:

S = 2πrh

Где S - площадь поверхности фигуры, r - радиус тела, h - высота тела.

В данной задаче, треугольник вращается вокруг большей высоты, то есть вращение происходит вокруг стороны, равной 20 см.

Мы можем найти радиус r при помощи формулы:

r = a*b*c/(4V)

где a, b, c - стороны треугольника, V - площадь треугольника.

По формуле Герона находим V:

V = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

где p = (a + b + c)/2

Теперь можем найти r:

r = a*b*c / (4*sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)))

Подставляем значения:

r = 7*15*20 / (4*sqrt((7+15+20)/2 * (7+20-15)/2 * (7+15-20)/2 * (15+20-7)/2))

Теперь, имея радиус r и высоту h (20 см), мы можем найти площадь поверхности фигуры:

S = 2 * π * r * h

Подставляем значения:

S = 2 * π * r * 20

Таким образом, площадь поверхности фигуры, полученной при вращении треугольника, найдена.