№1 Знайдіть суму перших 40 членів арифметичної прогресії (аn), якщо: 1) а1 = 19, а11 = -6 2) а7 = 6, а17

Для решения задачи №1, где даны первый и одиннадцатый члены арифметической прогрессии \(a_1\) и \(a_{11}\), нам сначала нужно найти разность прогрессии \(d\), используя формулу

\[d = \frac{{a_{11} - a_1}}{{11 - 1}}\]

\[d = \frac{{-6 - 19}}{{11 - 1}} = \frac{{-25}}{{10}} = -2.5\]

Теперь у нас есть первый член \(a_1 = 19\), разность \(d = -2.5\) и мы должны найти сумму первых 40 членов арифметической прогрессии.

Сумма первых 40 членов арифметической прогрессии \(S_{40}\) может быть найдена с использованием формулы:

\[S_{40} = \frac{{n \cdot (a_1 + a_{40})}}{2}\]

Где \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_{40}\) - сороковой член прогрессии.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[S_{40} = \frac{{40 \cdot (19 + a_{40})}}{2}\]

Однако, нам необходимо найти значение \(a_{40}\), для этого воспользуемся формулой для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[a_{40} = 19 + (40 - 1) \cdot (-2.5) = 19 - 39 \cdot 2.5 = -71.5\]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в формулу для \(S_{40}\) и найти окончательный ответ:

\[S_{40} = \frac{{40 \cdot (19 + (-71.5))}}{2}\]

\[S_{40} = \frac{{40 \cdot (-52.5)}}{2} = \frac{{-2100}}{2} = -1050\]

Таким образом, сумма первых 40 членов данной арифметической прогрессии равна -1050.

Теперь перейдем к решению задачи №2, где дан последний член арифметической прогрессии \(a_{19}\) и нужно найти сумму первых 19 членов прогрессии при известной разности \(d\).

Используя формулу для общего члена арифметической прогрессии \(a_n\):

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Имея \(a_{19} = 60\) и \(n = 19\), мы можем найти значение первого члена \(a_1\):

\[60 = a_1 + (19 - 1) \cdot d\]

\[60 = a_1 + 18d\]

Используя полученное значение \(a_1\), мы можем выразить сумму первых 19 членов прогрессии \(S_{19}\) при известной разности \(d\) с помощью формулы:

\[S_{19} = \frac{{n \cdot (a_1 + a_{19})}}{2}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[S_{19} = \frac{{19 \cdot (a_1 + 60)}}{2}\]

Таким образом, сумма первых 19 членов данной арифметической прогрессии может быть найдена с использованием этих формул.