1) Запишите координаты точек G, C, D и H, изображённых на рисунке. 2) Без построения, определите, в какой четверти

1) Запишем координаты точек G, C, D и H, изображенных на рисунке:
- Точка G: \( G(4:3) \)
- Точка C: \( C(-2:2) \)
- Точка D: \( D(-3:-4) \)
- Точка H: \( H(3:-4) \)

2) Без построения определим, в какой четверти находятся точки A(-3:1), B(6:-8), C(-8:-0,5), E(0:-8) и K(2:0). Также определим четверть, в которой находится точка F.
- Точка A(-3:1) находится во второй четверти, так как ее x-координата отрицательна, а y-координата положительна.
- Точка B(6:-8) находится в третьей четверти, так как ее x-координата положительна, а y-координата отрицательна.
- Точка C(-8:-0,5) находится в третьей четверти, так как ее x-координата отрицательна, а y-координата тоже отрицательна.
- Точка E(0:-8) находится в третьей четверти, так как ее x-координата положительна, а y-координата отрицательна.
- Точка K(2:0) находится в первой четверти, так как ее x-координата положительна, а y-координата равна нулю.
- Четверть, в которой находится точка F, не дана в условии задачи, поэтому без дополнительной информации нельзя сказать в какой четверти она находится.

3) На координатной плоскости отметим точку K(-4:6) и проведем прямые KM и NL. Найдем координаты точки пересечения этих прямых.
- Координаты точки K: \( K(-4:6) \)
- Для проведения прямой KM нам нужно знать ее наклон. Пусть KM имеет угловой коэффициент \( k \). Так как прямая KM проходит через точки K(-4:6) и M(x:y), можем записать уравнение прямой KM в точечной форме: \( y - 6 = k(x + 4) \).
- Для проведения прямой NL нам также нужно знать ее наклон. Пусть NL имеет угловой коэффициент \( m \). Так как прямая NL проходит через точки N(x:y) и L(-2:0), можем записать уравнение прямой NL в точечной форме: \( y - 0 = m(x + 2) \).
- Чтобы найти координаты точки пересечения прямых KM и NL, нужно решить систему уравнений.
- Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
y - 6 = k(x + 4) \\
y - 0 = m(x + 2)
\end{cases}
\]
- Решим систему уравнений для нахождения координат точки пересечения:
\[
\begin{cases}
y = kx + 4k + 6 \\
y = mx + 2m
\end{cases}
\]
Приравниваем правые части:
\[ kx + 4k + 6 = mx + 2m \]
Переносим все члены с \( x \) в левую часть, а все остальные члены в правую часть:
\[ (k - m)x = 2m - 4k - 6 \]
Выражаем \( x \):
\[ x = \frac{{2m - 4k - 6}}{{k - m}} \]
Подставляем \( x \) в одно из исходных уравнений (например, в уравнение прямой KM):
\[ y - 6 = k\left(\frac{{2m - 4k - 6}}{{k - m}}\right) + 4k + 6 \]
\[ y - 6 = \frac{{2km - 4k^2 - 6k - 2mk + 4k^2 + 6k}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ y - 6 = \frac{{-2mk + 6k + 6k}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ y - 6 = \frac{{-2mk + 12k}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
Общий знаменатель:
\[ y - 6 = \frac{{-2mk + 12k + 4k(k - m) + 6(k - m)}}{{k - m}} \]
\[ y - 6 = \frac{{-2mk + 12k + 4k^2 - 4km + 6k - 6m}}{{k - m}} \]
\[ y - 6 = \frac{{4k^2 - 2mk + 12k + 6k - 4km - 6m}}{{k - m}} \]
\[ y - 6 = \frac{{4k^2 + 10k - 8mk - 6m}}{{k - m}} \]
\[ y - 6 = \frac{{2k(2k + 5) - 2m(4k + 3)}}{{k - m}} \]
\[ y - 6 = \frac{{2(2k + 5)(k - m)}}{{k - m}} \]
\[ y - 6 = 2(2k + 5) \]
\[ y - 6 = 4k + 10 \]
\[ y = 4k + 16 \]
Подставим значение \( y \) в уравнение прямой KM:
\[ 4k + 16 - 6 = k\left(\frac{{2m - 4k - 6}}{{k - m}}\right) + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{2km - 4k^2 - 6k - 2mk + 4k^2 + 6k}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{2km + 6k}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{-2mk + 6k + 4k(k - m) + 6(k - m)}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{-2mk + 10k + 6k - 4km + 6k - 6m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{-2mk + 16k + 6(k - m) - 6m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{-2mk + 16k + 6k - 6m - 6m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{-2mk + 16k + 12k - 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
Знаменатель в знаменателе:
\[ 4k + 10 = -\frac{{2mk - 16k - 12m}}{{m - k}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{16k + 12m - 2mk}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{16k + 12m - 2mk + 4k(k - m) + 6(k - m)}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{16k + 12m - 2mk + 4k^2 - 4km + 6k - 6m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k^2 - 2mk + 16k - 4km + 6(k - m) + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k^2 + 14k - 2mk + 6(k - m) + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{2k(2k + 7) - 2m(k - m) + 6(k - m) + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{2(2k + 7)(k - m) + 6(k - m) + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{2(2k + 7)(k - m) + 6(k - m) + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{2(2k + 7) + 6 + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k + 14 + 6 + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k + 20 + 12m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k + 20 + 12m + 4k(k - m) + 6(k - m)}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k + 20 + 12m + 4k^2 - 4km + 6k - 6m}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k^2 - 4km + 12m + 6k - 6m + 4k + 20}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k^2 - 4km + 6k + 6m + 4k + 14}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
Выносим общий знаменатель в отдельную скобку:
\[ 4k + 10 = \frac{{4k^2 - 4km + 6k + 6m + 4k + 14}}{{k - m}} + \frac{{4k(k - m)}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k^2 - 4km + 6k + 6m + 4k + 14 + 4k(k - m)}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{4k^2 - 4km + 6k + 6m + 4k + 14 + 4k^2 - 4km}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
\[ 4k + 10 = \frac{{8k^2 - 8km + 10k + 10m + 14}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
Объединим коэффициенты при \( k \):
\[ 4k + 10 = \frac{{8k^2 - 8km + 10k + 4k + 10m + 14}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
Упростим числитель в знаменателе:
\[ 4k + 10 = \frac{{8k^2 - 8km + 14k + 10m + 14}}{{k - m}} + 4k + 6 \]
Знаменатель равен 2:
\[ 4k + 10 = 4k^2 - 4km + 7k + 5m + 7 + 4k + 6 \]
Сократим подобные члены:
\[ 4k + 10 = 4k^2 - 4km + 4k + 7k + 5m + 7 + 6 \]
\[ 4k + 10 = 4k^2 - 4km + 11k + 5m + 13 \]
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
\[ 4k + 10 - 4k^2 + 4km - 11k - 5m - 13 = 0 \]
Перенесем числа в правую часть уравнения:
\[ 4km - 4k^2 - 11k - 5m - 4k + 5m - 23 = 0 \]
Перегруппируем члены:
\[ 4km - 4k^2 - 15k - 23 = 0 \]
Уравнение принимает следующий вид:
\[ 4k(m - k) - 15(k + 1) = 0 \]
Упростим выражение:
\[ 4k(m - k) - 15k - 15 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 4km - 4k^2 - 15k - 15 = 0 \]
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
\[ 4km - 4k^2 - 15k - 15 + 4k^2 + 15k + 15 = 0 + 15k + 15 \]
Сократим подобные члены:
\[ 4km = 15k + 15 \]
Делим обе части уравнения на 1:
\[ \frac{{4km}}{{1}} = \frac{{