1) Запишите координаты точек G, C, D и H, изображённых на рисунке. 2) Без построения, определите, в какой четверти

1) Запишем координаты точек G, C, D и H, изображенных на рисунке:
- Точка G: $G(4:3)$
- Точка C: $C(-2:2)$
- Точка D: $D(-3:-4)$
- Точка H: $H(3:-4)$

2) Без построения определим, в какой четверти находятся точки A(-3:1), B(6:-8), C(-8:-0,5), E(0:-8) и K(2:0). Также определим четверть, в которой находится точка F.
- Точка A(-3:1) находится во второй четверти, так как ее x-координата отрицательна, а y-координата положительна.
- Точка B(6:-8) находится в третьей четверти, так как ее x-координата положительна, а y-координата отрицательна.
- Точка C(-8:-0,5) находится в третьей четверти, так как ее x-координата отрицательна, а y-координата тоже отрицательна.
- Точка E(0:-8) находится в третьей четверти, так как ее x-координата положительна, а y-координата отрицательна.
- Точка K(2:0) находится в первой четверти, так как ее x-координата положительна, а y-координата равна нулю.
- Четверть, в которой находится точка F, не дана в условии задачи, поэтому без дополнительной информации нельзя сказать в какой четверти она находится.

3) На координатной плоскости отметим точку K(-4:6) и проведем прямые KM и NL. Найдем координаты точки пересечения этих прямых.
- Координаты точки K: $K(-4:6)$
- Для проведения прямой KM нам нужно знать ее наклон. Пусть KM имеет угловой коэффициент $k$. Так как прямая KM проходит через точки K(-4:6) и M(x:y), можем записать уравнение прямой KM в точечной форме: $y-6=k(x+4)$.
- Для проведения прямой NL нам также нужно знать ее наклон. Пусть NL имеет угловой коэффициент $m$. Так как прямая NL проходит через точки N(x:y) и L(-2:0), можем записать уравнение прямой NL в точечной форме: $y-0=m(x+2)$.
- Чтобы найти координаты точки пересечения прямых KM и NL, нужно решить систему уравнений.
- Составим систему уравнений:
$$\{\begin{array}{l}y-6=k(x+4)\\ y-0=m(x+2)\end{array}$$
- Решим систему уравнений для нахождения координат точки пересечения:
$$\{\begin{array}{l}y=kx+4k+6\\ y=mx+2m\end{array}$$
Приравниваем правые части:
$$kx+4k+6=mx+2m$$
Переносим все члены с $x$ в левую часть, а все остальные члены в правую часть:
$$(k-m)x=2m-4k-6$$
Выражаем $x$:
$$x=\frac{2m-4k-6}{k-m}$$
Подставляем $x$ в одно из исходных уравнений (например, в уравнение прямой KM):
$$y-6=k\left(\frac{2m-4k-6}{k-m}\right)+4k+6$$
$$y-6=\frac{2km-4k^2-6k-2mk+4k^2+6k}{k-m}+4k+6$$
$$y-6=\frac{-2mk+6k+6k}{k-m}+4k+6$$
$$y-6=\frac{-2mk+12k}{k-m}+4k+6$$
Общий знаменатель:
$$y-6=\frac{-2mk+12k+4k(k-m)+6(k-m)}{k-m}$$
$$y-6=\frac{-2mk+12k+4k^2-4km+6k-6m}{k-m}$$
$$y-6=\frac{4k^2-2mk+12k+6k-4km-6m}{k-m}$$
$$y-6=\frac{4k^2+10k-8mk-6m}{k-m}$$
$$y-6=\frac{2k(2k+5)-2m(4k+3)}{k-m}$$
$$y-6=\frac{2(2k+5)(k-m)}{k-m}$$
$$y-6=2(2k+5)$$
$$y-6=4k+10$$
$$y=4k+16$$
Подставим значение $y$ в уравнение прямой KM:
$$4k+16-6=k\left(\frac{2m-4k-6}{k-m}\right)+4k+6$$
$$4k+10=\frac{2km-4k^2-6k-2mk+4k^2+6k}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{2km+6k}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{-2mk+6k+4k(k-m)+6(k-m)}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{-2mk+10k+6k-4km+6k-6m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{-2mk+16k+6(k-m)-6m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{-2mk+16k+6k-6m-6m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{-2mk+16k+12k-12m}{k-m}+4k+6$$
Знаменатель в знаменателе:
$$4k+10=-\frac{2mk-16k-12m}{m-k}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{16k+12m-2mk}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{16k+12m-2mk+4k(k-m)+6(k-m)}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{16k+12m-2mk+4k^2-4km+6k-6m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k^2-2mk+16k-4km+6(k-m)+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k^2+14k-2mk+6(k-m)+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{2k(2k+7)-2m(k-m)+6(k-m)+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{2(2k+7)(k-m)+6(k-m)+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{2(2k+7)(k-m)+6(k-m)+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{2(2k+7)+6+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k+14+6+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k+20+12m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k+20+12m+4k(k-m)+6(k-m)}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k+20+12m+4k^2-4km+6k-6m}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k^2-4km+12m+6k-6m+4k+20}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k^2-4km+6k+6m+4k+14}{k-m}+4k+6$$
Выносим общий знаменатель в отдельную скобку:
$$4k+10=\frac{4k^2-4km+6k+6m+4k+14}{k-m}+\frac{4k(k-m)}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k^2-4km+6k+6m+4k+14+4k(k-m)}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{4k^2-4km+6k+6m+4k+14+4k^2-4km}{k-m}+4k+6$$
$$4k+10=\frac{8k^2-8km+10k+10m+14}{k-m}+4k+6$$
Объединим коэффициенты при $k$:
$$4k+10=\frac{8k^2-8km+10k+4k+10m+14}{k-m}+4k+6$$
Упростим числитель в знаменателе:
$$4k+10=\frac{8k^2-8km+14k+10m+14}{k-m}+4k+6$$
Знаменатель равен 2:
$$4k+10=4k^2-4km+7k+5m+7+4k+6$$
Сократим подобные члены:
$$4k+10=4k^2-4km+4k+7k+5m+7+6$$
$$4k+10=4k^2-4km+11k+5m+13$$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$$4k+10-4k^2+4km-11k-5m-13=0$$
Перенесем числа в правую часть уравнения:
$$4km-4k^2-11k-5m-4k+5m-23=0$$
Перегруппируем члены:
$$4km-4k^2-15k-23=0$$
Уравнение принимает следующий вид:
$$4k(m-k)-15(k+1)=0$$
Упростим выражение:
$$4k(m-k)-15k-15=0$$
Раскроем скобки:
$$4km-4k^2-15k-15=0$$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$$4km-4k^2-15k-15+4k^2+15k+15=0+15k+15$$
Сократим подобные члены:
$$4km=15k+15$$
Делим обе части уравнения на 1:
\[ \frac{{4km}}{{1}} = \frac{{