1. Являются ли векторы AC, EF и DD1 компланарными, где ABCDA1B1C1 - параллелепипед, а E и F - середины AD и

Задача 1.

Для определения компланарности векторов, нам необходимо проверить, лежат ли они в одной плоскости.

В данном случае, векторы AC, EF и DD1 являются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Для начала, определим координаты векторов AC, EF и DD1.

Вектор AC можно получить, вычислив разность координат точек A и C. Обозначим вектор AC как \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\)

Вектор EF можно получить, вычислив разность координат точек E и F. Обозначим вектор EF как \(\overrightarrow{EF}\):

\(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E}\)

Вектор DD1 можно получить, вычислив разность координат точек D1 и D. Обозначим вектор DD1 как \(\overrightarrow{DD1}\):

\(\overrightarrow{DD1} = \overrightarrow{D1} - \overrightarrow{D}\)

Теперь, если векторы AC, EF и DD1 компланарны, то мы должны можем представить вектор DD1 как линейную комбинацию векторов AC и EF:

\(\overrightarrow{DD1} = \alpha \cdot \overrightarrow{AC} + \beta \cdot \overrightarrow{EF}\)

где \(\alpha\) и \(\beta\) - некоторые коэффициенты.

Для доказательства компланарности, найдем значения \(\alpha\) и \(\beta\). Подставим векторы AC, EF и DD1 в данное равенство:

\(\overrightarrow{D1} - \overrightarrow{D} = \alpha \cdot (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) + \beta \cdot (\overrightarrow{F} - \overrightarrow{E})\)

Теперь раскроем скобки и учтем, что EF - середина отрезка AD и DF:

\(\overrightarrow{D1} - \overrightarrow{D} = \alpha \cdot \overrightarrow{C} - \alpha \cdot \overrightarrow{A} + \beta \cdot \overrightarrow{F} - \beta \cdot \overrightarrow{E}\)

Так как E и F - середины сторон, то \(\overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2}\) и \(\overrightarrow{F} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D1}}{2}\).

Подставим это в уравнение:

\(\overrightarrow{D1} - \overrightarrow{D} = \alpha \cdot \overrightarrow{C} - \alpha \cdot \overrightarrow{A} + \beta \cdot \left(\frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D1}}{2}\right) - \beta \cdot \left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2}\right)\)

Чтобы доказать компланарность векторов, необходимо проверить, существуют ли такие \(\alpha\) и \(\beta\), для которых это уравнение выполняется.

Данное уравнение можно упростить и записать в матричной форме:

\[
\begin{bmatrix}
\frac{1 - \alpha}{2} & -\frac{\alpha}{2} & \frac{\alpha - 1}{2} & -\frac{\alpha}{2} \\
-\frac{\beta}{2} & \frac{-\beta}{2} & \frac{\beta}{2} & \frac{\beta}{2} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\overrightarrow{A} \\
\overrightarrow{C} \\
\overrightarrow{D} \\
\overrightarrow{D1} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\overrightarrow{D1} - \overrightarrow{D} \\
0 \\
\end{bmatrix}
\]

Здесь первая строка матрицы соответствует коэффициентам \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{D}\) и \(\overrightarrow{D1}\), а вектор-столбец справа представляет разность \(\overrightarrow{D1} - \overrightarrow{D}\), а вектор-столбец снизу - нулевой вектор.

Если существуют решения для \(\alpha\) и \(\beta\), то векторы будут компланарными.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос о компланарности векторов AC, EF и DD1, мы должны решить данную систему уравнений, найдя значения \(\alpha\) и \(\beta\). Если существуют такие значения, при которых система имеет решение, то векторы компланарны, иначе - не компланарны.

Задача 2.

Для определения компланарности тройки векторов m, n, p, k мы должны проверить, лежат ли они в одной плоскости.

Для этого проверим, существует ли такой вектор q, что векторное произведение любых двух из этих векторов равно нулевому вектору:

\(m \times n = \overrightarrow{0}\)
\(m \times p = \overrightarrow{0}\)
\(m \times k = \overrightarrow{0}\)
\(n \times p = \overrightarrow{0}\)
\(n \times k = \overrightarrow{0}\)
\(p \times k = \overrightarrow{0}\)

Если все эти условия выполняются, то векторы m, n, p и k будут компланарными.

Проверим каждое из уравнений:

\(m \times n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 - 1) - \mathbf{j}(4 - 1) + \mathbf{k}(2 - 1) = -3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k} = \begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(m \times p = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 + 2) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(-2 + 2) = 3\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(m \times k = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 + 1) - \mathbf{j}(0 - 3) + \mathbf{k}(3 - 2) = 0\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + \mathbf{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(n \times p = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 - 2) - \mathbf{j}(1 + 2) + \mathbf{k}(-2 + 1) = -4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - \mathbf{k} = \begin{bmatrix} -4 \\ -3 \\ -1 \end{bmatrix}\)
\(n \times k = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 - 1) - \mathbf{j}(-6 - 3) + \mathbf{k}(-1 - 3) = -3\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - 4\mathbf{k} = \begin{bmatrix} -3 \\ 9 \\ -4 \end{bmatrix}\)
\(p \times k = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(0 - 3) + \mathbf{k}(3 - 2) = -\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k} = \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Теперь, если все полученные векторы равны нулевому вектору, то векторы m, n, p и k будут компланарными. Проверим это:

\(\begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} -4 \\ -3 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} -3 \\ 9 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Таким образом, все векторы m, n, p и k являются компланарными.