1. Яку період і частоту коливань має човен, що здійснив 10 повних коливань за 25 секунд? 2. Які значення амплітуди

1. Чтобы найти период колебаний, мы можем разделить время на количество полных колебаний. В данном случае, у нас есть 10 полных колебаний за 25 секунд, поэтому период можно найти как:

\[
\text{Период} = \frac{\text{Время}}{\text{Количество колебаний}} = \frac{25 \text{ сек}}{10} = 2.5 \text{ сек}
\]

Также, чтобы найти частоту колебаний, мы можем использовать формулу:

\[
\text{Частота} = \frac{1}{\text{Период}} = \frac{1}{2.5 \text{ сек}} = 0.4 \text{ Гц}
\]

Таким образом, човен имеет период 2.5 секунды и частоту 0.4 Гц.

2. В данном случае, у нас дано уравнение гармонических колебаний \(x = A \sin(0.01 \pi t + \frac{\pi}{2})\), где \(A = 0.05\) м - амплитуда колебаний.

Амплитуда задает максимальное отклонение от положения равновесия. В данном случае, амплитуда равна 0.05 м.

Фаза задает начальное положение системы в момент времени \(t = 0\). В данном случае, начальная фаза равна \(\frac{\pi}{2}\).

Частота колебаний связана с периодом следующим образом: \(f = \frac{1}{T}\), где \(T\) - период колебаний. В данном случае, частота равна \(0.01 \pi\) рад/с.

Период колебаний связан с частотой следующим образом: \(T = \frac{1}{f}\), где \(f\) - частота колебаний. В данном случае, период равен \(\frac{1}{0.01 \pi}\) сек.

Таким образом, значения амплитуды, начальной фазы, частоты и периода гармонических колебаний равны: амплитуда - 0.05 м, начальная фаза - \(\frac{\pi}{2}\) радиан, частота - \(0.01 \pi\) рад/с, период - \(\frac{1}{0.01 \pi}\) сек.

3. Для того чтобы найти период колебаний тела на пружине, мы можем использовать формулу:

\[
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
\]

где \(m\) - масса тела, \(k\) - жесткость пружины. В данном случае, масса равна 200 г (или 0.2 кг), а жесткость пружины равна 2000 Н/м. Подставив значения в формулу, получим:

\[
T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.2 \, \text{кг}}{2000 \, \text{Н/м}}} = 2 \pi \sqrt{0.0001} = 2 \pi \cdot 0.01 = 0.02 \pi \, \text{сек}
\]

Таким образом, период колебаний тела массой 200 г, которое колеблется на пружине жесткостью 2000 Н/м, равен \(0.02 \pi\) сек.

4. Для того чтобы найти период колебаний математического маятника, мы можем использовать формулу:

\[
T = \frac{T_0}{n}
\]

где \(T_0\) - время для \(n\) колебаний, \(n\) - количество колебаний. В данном случае, время для 100 колебаний равно 314 секунд, поэтому период можно найти как:

\[
T = \frac{314 \, \text{сек}}{100} = 3.14 \, \text{сек}
\]

Также, чтобы найти величину прискорения свободного падения в данном месте, мы можем использовать формулу:

\[
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
\]

где \(L\) - длина математического маятника. В данном случае, длина равна 2.5 метра. Подставив значения в формулу, получим:

\[
3.14 \, \text{сек} = 2 \pi \sqrt{\frac{2.5 \, \text{м}}{g}}
\]

Решая это уравнение относительно \(g\), получаем:

\[
g = \left(\frac{2 \pi \cdot 2.5 \, \text{м}}{3.14 \, \text{сек}}\right)^2
\]

Вычисляя это выражение:

\[
g \approx 9.88 \, \text{м/с}^2
\]

Таким образом, период колебаний математического маятника длиной 2.5 метра, если он совершает 100 колебаний за 314 секунд, равен 3.14 секунды, а величина ускорения свободного падения в данном месте равна 9.88 м/с².

5. Уравнения колебаний математического маятника можно выразить в виде:

a) Для гармонических колебаний без затуханий:
\[
x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)
\]
где \(x\) - смещение маятника от положения равновесия, \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - циклическая частота, \(t\) - время, \(\varphi\) - начальная фаза.

b) Для затухающих гармонических колебаний:
\[
x(t) = Ae^{-\beta t} \cos(\omega" t + \varphi")
\]
где \(\beta\) - коэффициент затухания, \(\omega"\) - циклическая частота с учетом затухания, \(\varphi"\) - начальная фаза с учетом затухания.

c) Для гармонических колебаний с вынуждающей силой:
\[
x(t) = A" \cos(\omega" t + \varphi") + x_p(t)
\]
где \(A"\) - амплитуда колебаний с учетом вынуждающей силы, \(\omega"\) - циклическая частота с учетом вынуждающей силы, \(\varphi"\) - начальная фаза с учетом вынуждающей силы, \(x_p(t)\) - частное решение уравнения движения, вызванное вынуждающей силой.