1) Яким є закон руху тіла s(t), якщо його швидкість визначається функцією v(t) = 2t + 1 і в момент часу t = 1 тіло

Конечно, я помогу вам разобраться с каждым из этих вопросов и предоставлю максимально подробные и понятные ответы.

1) Для определения закона движения тела s(t), зная его скорость v(t), мы можем использовать интегрирование. Используя формулу \(s(t)=\int v(t)dt\), мы найдем функцию s(t). Так как дана функция скорости v(t) = 2t + 1, ее можно проинтегрировать для получения функции пути. Для этого проведем интегрирование следующим образом:

\[\int (2t + 1)dt = t^2 + t + C\]

где C - это постоянная интегрирования, которая будет определена, когда мы будем знать начальное положение тела. Мы знаем, что в момент времени t = 1 тело находится в положении s(1) = 3. Это означает, что:

\[s(1) = 3 = (1)^2 + 1 + C\]

Решив это уравнение, мы можем найти значение постоянной C:

\[C = 1\]

Таким образом, итоговый закон движения тела будет:

\[s(t) = t^2 + t + 1\]

2) Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x^2, y = 0 и x = 2, мы можем использовать определенный интеграл. Область, которую нам нужно вычислить, находится между кривыми \(y = x^2\) и \(y = 0\), а границы этой области заданы кривой \(x = 2\). Для нахождения площади мы можем задать следующий определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{2} x^2 dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[\int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{{x^3}}{3} \Bigg|_{0}^{2} = \frac{{2^3}}{3} - \frac{{0^3}}{3} = \frac{8}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2, y = 0 и x = 2, равна \(\frac{8}{3}\).

3) Формула, которую можно использовать для вычисления площади S фигуры, ограниченной кривой y = x^2, называется интегралом. Мы можем записать эту формулу следующим образом:

\[S = \int_{a}^{b} f(x)dx\]

где \(a\) и \(b\) - это границы области между графиком функции \(y = x^2\) и осью \(x\), а \(f(x)\) - это функция, описывающая график.

Таким образом, для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой \(y = x^2\), мы должны провести определенный интеграл функции \(f(x) = x^2\) между соответствующими границами \(a\) и \(b\).