1. Які є способи знайти висоту правильної трикутної піраміди з бічним ребром l та кутом альфа, утвореним з основою?

1. Для нахождения высоты правильной треугольной пирамиды с боковым ребром \(l\) и углом \(\alpha\) можно использовать два различных способа.

Первый способ:
1. Найдите ширину основания пирамиды, используя тригонометрию. Расстояние от вершины до центра основания равно половине ширины основания.
2. По теореме Пифагора найдите длину высоты, используя полученную ширину основания и боковое ребро. Высота равна корню квадратному из суммы квадратов половины ширины основания и бокового ребра.

Второй способ:
1. Рассмотрите правильный треугольник, образованный вершиной пирамиды, центром основания и серединой одного из сторон основания.
2. Используя геометрические свойства равнобедренного треугольника и зная угол \(\alpha\), найдите половину ширины основания, используя тригонометрию.
3. По теореме Пифагора найдите длину высоты пирамиды, используя полученную половину ширины основания и боковое ребро. Высота равна корню квадратному из разности квадратов бокового ребра и половины ширины основания.

Оба способа дают точное значение высоты пирамиды, которое можно выразить в формуле. Важно помнить, что угол \(\alpha\) должен быть в радианах для выполнения вычислений.

2. Чтобы найти радиус круга, описывающего основание правильной треугольной пирамиды с боковым ребром \(l\) и углом \(\alpha\), можно использовать следующий способ:

1. Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой угла основания пирамиды, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности.
2. Используя геометрические свойства прямоугольного треугольника, найдите радиус описанной окружности, используя боковое ребро пирамиды (\(l\)) и угол основания (\(\alpha\)).
3. Радиус описанной окружности будет равен половине стороны основания пирамиды.

Таким образом, радиус круга, описывающего основание пирамиды, можно выразить через боковое ребро и угол основания.