1) What is the probability of getting three sixes when rolling a die four times? 2) The probability of manufacturing

Конечно! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1) Чтобы найти вероятность получить три шестерки при четырех бросках кубика, нам нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

Всего возможно 6^4 = 1296 исходов, так как каждый бросок кубика может дать одно из шести возможных значений (от 1 до 6), и мы делаем четыре броска.

Количество благоприятных исходов - это количество способов, которыми мы можем получить три шестерки и одно любое другое значение. Чтобы найти это число, мы можем воспользоваться формулой "количество сочетаний".

Количество сочетаний можно найти по формуле C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), где n - общее количество элементов, а k - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, n = 4 (количество бросков) и k = 3 (количество шестерок). Подставляя значения в формулу, получаем C(4, 3) = 4! / (3!(4-3)!) = 4.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 4.

Итак, вероятность получить три шестерки при четырех бросках кубика равна 4/1296, что можно упростить до 1/324.

2) Вероятность изготовления стандартной детали равна 0.9. Мы хотим найти вероятность получить 85 стандартных деталей из 100.

Для этого мы можем использовать формулу биномиального распределения. Для данной задачи, формула будет выглядеть следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * (p^k) * ((1-p)^(n-k))

Где:
- P(X = k) - вероятность получить k стандартных деталей,
- n - общее количество деталей (в данном случае 100),
- k - количество стандартных деталей,
- p - вероятность изготовления стандартной детали (в данном случае 0.9).

Подставляя значения в формулу, получаем:

P(X = 85) = C(100, 85) * (0.9^85) * ((1-0.9)^(100-85))

Чтобы рассчитать это значение, нужно подставить значения в формулу и выполнить вычисления.

3) В коробке находится 8 одинаковых предметов, из которых 5 окрашены. Из коробки случайным образом выбираются три предмета. Нам нужно найти вероятность того, что среди выбранных предметов будет один окрашенный.

Для этой задачи также можно использовать формулу "количество сочетаний" для определения количества благоприятных исходов.

Количество благоприятных исходов - это количество способов выбрать один окрашенный предмет из пяти окрашенных предметов и два непокрашенных предмета из трех непокрашенных предметов.

Используя формулу сочетаний, можно вычислить количество благоприятных исходов:

C(5, 1) * C(3, 2) = (5! / (1!(5-1)!)) * (3! / (2!(3-2)!)) = 5 * 3 = 15

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 15.

Общее количество исходов можно найти таким же способом, как в предыдущей задаче, равным C(8, 3) = 8! / (3!(8-3)!) = 56.

Итак, вероятность того, что среди выбранных предметов будет один окрашенный, равна 15/56, что можно упростить до 15/56.