1. What is the coordinate of point A, if B(2;-2;2) and M(8;4;0) with M being the midpoint of segment AB? 2. Determine

Задача 1:
Для начала, найдем координаты середины отрезка AB, используя формулу середины отрезка:
\[
M\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \frac{{z_1 + z_2}}{2}\right)
\]
Где \(M\) - координаты середины отрезка, \(x_1, y_1, z_1\) - координаты точки A, \(x_2, y_2, z_2\) - координаты точки B.

Используя данную формулу, подставим значения координат точек A и B:
\[
M\left(\frac{{1 + 0}}{2}, \frac{{5 + 3}}{2}, \frac{{-2 + 5}}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, 4, \frac{3}{2}\right)
\]

Таким образом, координаты точки M равны \(\left(\frac{1}{2}, 4, \frac{3}{2}\right)\).

Теперь, нам дано, что точка M является серединой отрезка AB. Чтобы найти координаты точки A, мы можем использовать ту же формулу, но на этот раз будем искать \(x_1, y_1, z_1\) при известных значениях \(x_2, y_2, z_2\) и \(M\):
\[
M = \left(\frac{{x_1 + 2}}{2}, \frac{{y_1 - 2}}{2}, \frac{{z_1 + 2}}{2}\right)
\]

Подставляем значения координат точек M и B и находим координаты точки A:
\[
\left(\frac{1}{2}, 4, \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{{x_1 + 2}}{2}, \frac{{y_1 - 2}}{2}, \frac{{z_1 + 2}}{2}\right)
\]

Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[
\left(1, 8, 3\right) = \left(x_1 + 2, y_1 - 2, z_1 + 2\right)
\]

Отсюда получаем следующие значения координат точки A:
\[
x_1 = 1 - 2 = -1, \quad y_1 = 8 + 2 = 10, \quad z_1 = 3 - 2 = 1
\]

Таким образом, координаты точки A равны \((-1, 10, 1)\).

Задача 2:
Для нахождения координат середины отрезка AB используем аналогичную формулу.

Подставляем значения координат точек A и B:
\[
M\left(\frac{{1 + 0}}{2}, \frac{{5 + 3}}{2}, \frac{{-2 + 5}}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, 4, \frac{3}{2}\right)
\]

То есть, координаты точки M равны \(\left(\frac{1}{2}, 4, \frac{3}{2}\right)\).

Задача 3:
Для вычисления длины вектора с заданными координатами \((15, 20, 0)\) используем формулу для вычисления длины вектора:

\[
d = \sqrt{{x^2 + y^2 + z^2}}
\]

Подставляем значения координат в формулу:
\[
d = \sqrt{{15^2 + 20^2 + 0^2}} = \sqrt{{225 + 400 + 0}} = \sqrt{{625}} = 25
\]

Таким образом, длина вектора с координатами \((15, 20, 0)\) равна 25.

Задача 4:
Для определения расстояния между точками A и B, используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}
\]

Подставляем значения координат точек A и B в формулу:
\[
d = \sqrt{{(6 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2 + (3 - 3)^2}} = \sqrt{{8^2 + 6^2 + 0^2}} = \sqrt{{100}} = 10
\]

Таким образом, расстояние между точками A и B равно 10.

Задача 5:
Для вычисления длины вектора с заданными координатами точек A и B (\((1, 2, -3, 5)\) и \((0, 6, -3, 4.2)\)), используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в четырехмерном пространстве:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 + (t_2 - t_1)^2}}
\]

Подставляем значения координат точек A и B в формулу:
\[
d = \sqrt{{(0 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (-3 - (-3))^2 + (4.2 - 5)^2}} = \sqrt{{(-1)^2 + 4^2 + 0^2 + (-0.8)^2}} = \sqrt{{18.64}} \approx 4.32
\]

Таким образом, длина вектора с координатами точек A и B равна примерно 4.32.