1. What are the coordinates of point D if point E (3:4) and point F (8;2) are midpoints of segment DF? 2. Solve

Хорошо! Начнем с первого вопроса.

1. Чтобы найти координаты точки D, если точки E (3:4) и F (8;2) являются серединами отрезка DF, нужно учесть, что середина отрезка - это среднее значение координат его концов. Таким образом, мы можем использовать формулу для нахождения координат середины отрезка:

\[
\text{{X}}_D = \frac{{\text{{X}}_E + \text{{X}}_F}}{2}
\]

\[
\text{{Y}}_D = \frac{{\text{{Y}}_E + \text{{Y}}_F}}{2}
\]

Подставим значения координат точек E и F в эти формулы:

\[
\text{{X}}_D = \frac{{3+8}}{2} = \frac{11}{2} = 5.5
\]

\[
\text{{Y}}_D = \frac{{4+2}}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]

Таким образом, координаты точки D равны (5.5; 3).

2. а) Чтобы найти координаты центра окружности, если точки C (-6, -1) и D (4; -5) являются концами диаметра CD, нужно учесть, что центр окружности находится на середине отрезка CD. Как и в предыдущем вопросе, мы можем использовать формулу для нахождения координат середины отрезка:

\[
\text{{X}}_O = \frac{{\text{{X}}_C + \text{{X}}_D}}{2}
\]

\[
\text{{Y}}_O = \frac{{\text{{Y}}_C + \text{{Y}}_D}}{2}
\]

Подставим значения координат точек C и D в эти формулы:

\[
\text{{X}}_O = \frac{{-6 + 4}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1
\]

\[
\text{{Y}}_O = \frac{{-1 + (-5)}}{2} = \frac{{-6}}{2} = -3
\]

Таким образом, координаты центра окружности равны (-1; -3).

б) Чтобы записать уравнение окружности с использованием условий из предыдущей части, нам понадобится формула окружности. Уравнение окружности имеет вид:

\[
(x - \text{{X}}_O)^2 + (y - \text{{Y}}_O)^2 = r^2
\]

где \((x, y)\) - координаты точки на окружности, \(\text{{X}}_O\) и \(\text{{Y}}_O\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Из предыдущей части мы знаем, что координаты центра окружности \(\text{{X}}_O = -1\) и \(\text{{Y}}_O = -3\). Радиус \(r\) окружности равен половине длины диаметра, то есть половине длины отрезка CD. Используя формулу расстояния между двумя точками:

\[
r = \frac{{\sqrt{{(\text{{X}}_D - \text{{X}}_C)^2 + (\text{{Y}}_D - \text{{Y}}_C)^2}}}}{2}
\]

Подставим значения координат точек C и D в эту формулу:

\[
r = \frac{{\sqrt{{(4 - (-6))^2 + ((-5) - (-1))^2}}}}{2} = \frac{{\sqrt{{10^2 + 4^2}}}}{2} = \frac{{\sqrt{{116}}}}{2}
\]

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:

\[
(x - (-1))^2 + (y - (-3))^2 = \left(\frac{{\sqrt{{116}}}}{2}\right)^2
\]

или

\[
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = \frac{{116}}{4}
\]

3. Чтобы определить взаимное положение двух окружностей, заданных уравнениями \((x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4\) и \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\), мы можем провести их графическое представление и проанализировать их взаимное положение. Выполним это:

Подставляя координаты центров окружностей \((1,3)\) и \((2,-1)\), видим, что они находятся на расстоянии \(d = \sqrt{(1-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{17}\). Радиус первой окружности равен \(r_1 = 2\), а радиус второй окружности равен \(r_2 = 3\).

Когда расстояние между центрами двух окружностей равно \(d = r_1 + r_2\), окружности касаются в одной точке.

Когда расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы их радиусов \(d < r_1 + r_2\), окружности имеют две точки пересечения.

При \(d > r_1 + r_2\), окружности не пересекаются и не касаются друг друга.

Подставив значения \(d\), \(r_1\), и \(r_2\), видим, что \(d > r_1 + r_2\), что означает, что окружности не пересекаются и не касаются друг друга.

4. Учитывая, что точки A(-6;-2), B(-2;6), C(1;7) и D(3;1) являются вершинами прямоугольной трапеции с основаниями AB и CD, мы можем использовать формулы для нахождения координат оставшихся вершин прямоугольной трапеции.

Анализируя координаты вершин, мы видим, что основания прямоугольной трапеции параллельны оси OX, поэтому координаты C и B должны иметь одинаковую Y-координату. Следовательно, Y-координаты точек B и C равны 7.

Таким образом, координаты оставшихся вершин прямоугольной трапеции будут следующими:

Точка B имеет координаты (Xb, Yb). Поскольку X-координаты точек B и C одинаковы, Xb равно 1.

Точка D имеет координаты (Xd, Yd). Поскольку Y-координаты точек D и A одинаковы, Yd равно -2.

Таким образом, координаты точки B равны (1; 7), а координаты точки D равны (3; -2).

Я надеюсь, что это подробное решение и объяснение помогли вам понять эти задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.