1) Возможным количество способов распределить эти путевки между 7 кандидатами? 2) Каково количество возможных вариантов

Конечно, я могу помочь с каждой задачей. Давайте начнем.

1) Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику и применить формулу сочетаний. Количество способов распределить путевки между 7 кандидатами равно количеству сочетаний из 7 по 3. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые нужно выбрать. В данном случае \(n = 7\) и \(k = 3\), поэтому мы можем вычислить количество способов следующим образом:

\[C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3! \cdot (7-3)!}} = \frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{3! \cdot 4!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 7 \cdot 5 = 35\]

Таким образом, возможно 35 способов распределить путевки между 7 кандидатами.

2) Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику и формулу сочетаний. Количество возможных вариантов появления одной Туза среди 3 выбранных карт из колоды в 52 карты можно вычислить по формуле сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые нужно выбрать. В данном случае \(n = 4\) (так как в колоде 4 Туза) и \(k = 1\) (так как мы хотим выбрать 1 Туза из 3). Применяя формулу, получим:

\[C(4, 1) = \frac{{4!}}{{1! \cdot (4-1)!}} = \frac{{4!}}{{1! \cdot 3!}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2!}}{{1 \cdot 2!}} = 4 \cdot 3 = 12\]

Таким образом, количество возможных вариантов появления одной Туза среди 3 выбранных карт из колоды в 52 карты равно 12.

3) В этой задаче мы должны выбрать 6 пирожных из доступных 11 сортов. Здесь мы можем использовать формулу сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов (в данном случае 11), а \(k\) - количество элементов, которые нужно выбрать (в данном случае 6). Применяя формулу, получим:

\[C(11, 6) = \frac{{11!}}{{6! \cdot (11-6)!}} = \frac{{11!}}{{6! \cdot 5!}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6! \cdot 5!}} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 27720\]

Таким образом, существует 27720 различных способов выбрать 6 пирожных из доступных 11 сортов.

4) В шахматном турнире каждый участник должен сыграть с каждым из остальных участников по 2 партии. Общее число партий может быть вычислено с использованием формулы:

\[N = \frac{{n \cdot (n-1)}}{2}\]

где \(n\) - количество участников в турнире. В данном случае \(n = 12\), поэтому:

\[N = \frac{{12 \cdot (12-1)}}{2} = \frac{{12 \cdot 11}}{2} = \frac{{132}}{2} = 66\]

Таким образом, участники должны сыграть в общей сложности 66 партий в шахматном турнире.

5) Если есть 30 доступных людей и нужно выбрать одного председателя и одного секретаря, то количество способов выбрать их можно получить, применив формулу произведения. Нужно выбрать 1 председателя из 30 и 1 секретаря из оставшихся 29 (поскольку нельзя выбрать одного человека на две должности). Таким образом:

\[Количество\_способов = 30 \cdot 29 = 870\]

Таким образом, из 30 доступных людей может быть выбрано 870 комбинаций для должностей председателя и секретаря на собрании.