1. Во сколько раз светимость Кастора превосходит светимость Солнца, если она 25 раз больше и его температура составляет

1. Для решения этой задачи, нам необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти светимость Солнца.
- Узнать, во сколько раз светимость Кастора превосходит светимость Солнца.

Шаг 1: Расчет светимости Солнца.
Согласно информации, светимость Кастора в 25 раз превосходит светимость Солнца. Значит, мы можем найти светимость Солнца, разделив светимость Кастора на 25.
Формула для расчета светимости Кастора можно записать так: \(L_{\text{К}} = 25 \cdot L_{\text{С}}\), где \(L_{\text{К}}\) - светимость Кастора, \(L_{\text{С}}\) - светимость Солнца.

Шаг 2: Нахождение ответа.
Температура Кастора также задана, и она равна 10400К. Светимость звезды связана с её температурой по формуле Стефана-Больцмана: \(L = 4 \pi R^2 \sigma T^4\), где \(L\) - светимость, \(R\) - радиус, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана и \(T\) - температура.

Используем формулу Стефана-Больцмана для нахождения светимости Солнца и Кастора. Приравним эти два значения:
\[25 \cdot L_{\text{С}} = 4 \pi R_{\text{С}}^2 \sigma T_{\text{С}}^4\]
\[L_{\text{К}} = 4 \pi R_{\text{К}}^2 \sigma T_{\text{К}}^4\]

Так как нам не известны ни радиусы звезд, ни постоянная Стефана-Больцмана, мы не можем точно рассчитать светимость. Однако, мы можем сравнить отношение светимостей Солнца и Кастора, используя предоставленные данные.

Итак, с учетом того, что светимость Кастора в 25 раз превосходит светимость Солнца, мы можем сделать вывод, что светимость Кастора превосходит светимость Солнца в 25 раз.

Ответ: Светимость Кастора превосходит светимость Солнца в 25 раз.

2. Для решения этой задачи, нам необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти массу и размеры Солнца.
- Вычислить массу и размеры красного гиганта.
- Рассчитать плотность красного гиганта, используя полученные значения.

Шаг 1: Расчет массы и размеров Солнца.
Для расчета массы и размеров Солнца, нам необходимо использовать данные о превосходстве красного гиганта в 300 раз по размеру и в 30 раз по массе относительно Солнца.

Пусть \(R_{\text{С}}\) будет радиусом Солнца, тогда радиус красного гиганта \(R_{\text{КГ}}\) будет равен \(300 \cdot R_{\text{С}}\).

Пусть \(M_{\text{С}}\) будет массой Солнца, тогда масса красного гиганта \(M_{\text{КГ}}\) будет равна \(30 \cdot M_{\text{С}}\).

Шаг 2: Нахождение ответа.
Плотность звезды связана с ее массой и объемом по формуле плотности \(\rho = \frac{M}{V}\), где \(\rho\) - плотность, \(M\) - масса и \(V\) - объем.

Чтобы найти объем Солнца и красного гиганта, мы можем воспользоваться формулой объема шара \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\), где \(V\) - объем и \(R\) - радиус.

Итак, плотность красного гиганта будет равна:
\[\rho_{\text{КГ}} = \frac{M_{\text{КГ}}}{V_{\text{КГ}}} = \frac{30 \cdot M_{\text{С}}}{\frac{4}{3} \pi (300 \cdot R_{\text{С}})^3}\]

После упрощения и замены значений получаем:
\[\rho_{\text{КГ}} = \frac{30 \cdot M_{\text{С}}}{\frac{4}{3} \pi (300^3 \cdot R_{\text{С}}^3)}\]

Таким образом, плотность красного гиганта будет зависеть от плотности Солнца и отношения радиусов.

Ответ: Для нахождения средней плотности красного гиганта необходимо знать плотность Солнца и отношение радиусов красного гиганта и Солнца. На данный момент точное значение невозможно рассчитать без этих данных.