1. Визуализируйте правильный тетраэдр SABC. Определите: а) значение косинуса угла между линией SA и плоскостью ABC

Конечно, я могу помочь с решением данных задач.

1. Для начала, нам нужно визуализировать тетраэдр SABC. Тетраэдр SABC - это четырехугольная пирамида с вершинами S, A, B и C. Длина ребра тетраэдра составляет 8 см.

а) Чтобы найти значение косинуса угла между линией SA и плоскостью ABC, нам понадобятся координаты точек S, A, B и C. Пусть точка S имеет координаты (x_s, y_s, z_s), точка A - (x_a, y_a, z_a), точка B - (x_b, y_b, z_b), и точка C - (x_c, y_c, z_c).

Затем, мы можем найти векторы \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{AB}\) с помощью следующей формулы:

\[
\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{S} = (x_a - x_s, y_a - y_s, z_a - z_s)
\]

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a)
\]

Затем нам нужно найти скалярное произведение этих двух векторов:

\[
\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos{\theta}
\]

где \(\theta\) - искомый угол между линией SA и плоскостью ABC.

Так как мы знаем, что длина ребра тетраэдра равна 8 см, то \(|\overrightarrow{SA}| = |\overrightarrow{AB}| = 8\) см.

Решая данное уравнение относительно \(\cos{\theta}\), мы найдем значение косинуса угла между линией SA и плоскостью ABC.

б) Чтобы найти значение косинуса угла между плоскостями SВC и ABC, нам нужно знать нормальные векторы обеих плоскостей. Нормальный вектор \(\overrightarrow{n_1}\) плоскости ABC можно найти с помощью векторного произведения двух векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[
\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}
\]

Также, нам понадобится нормальный вектор \(\overrightarrow{n_2}\) для плоскости SВC. Его можно найти, используя векторное произведение двух векторов \(\overrightarrow{SB}\) и \(\overrightarrow{SC}\):

\[
\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}
\]

Затем, мы можем найти значение косинуса угла \(\theta\) между плоскостями SВC и ABC с помощью следующей формулы:

\[
\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}
\]

Также, длина ребра тетраэдра равна 8 см, и мы уже знаем значение \(\overrightarrow{n_1}\). Подставляя это в формулу, мы сможем найти значение косинуса угла между плоскостями SВC и ABC.

2. Нам дан квадрат ABCD, сторона которого равна \(b\). Допустим, точка \(P\) - это точка пересечения плоскости \(\alpha\) с прямой \(AD\). Мы также знаем, что \(\alpha\) находится на расстоянии \(\frac{b}{3}\) от точки \(A\).

Так как \(\alpha\) параллельна стороне \(BC\) квадрата, и точка \(P\) лежит на прямой \(AD\), то образуется прямоугольный треугольник \(DPC\). Поэтому \(\angle DPC = 90^\circ\).

Используя теорему Пифагора в треугольнике \(DPC\), мы можем выразить расстояние \(PD\) от точки \(D\) до плоскости \(\alpha\):

\[
PD = \sqrt{PC^2 - b^2}
\]

Так как \(\alpha\) находится на расстоянии \(\frac{b}{3}\) от точки \(A\), то длина отрезка \(PC\) равна \(b - \frac{b}{3} = \frac{2b}{3}\).

Подставляя это значение в формулу, мы можем найти расстояние от точки \(D\) до плоскости \(\alpha\).

3. У нас есть единичный куб \(ABCD A_1 B_1 C_1 D_1\), где сторона равна 1 единице. Мы хотим вычислить расстояние между точкой \(A\) и точкой

Пожалуйста, уточните, какая точка задана после слова "точкой". Я помогу вам решить данную задачу после получения дополнительной информации.