1. В треугольнике АВС, где угол А равен 90°, косинус угла В равен 3/4, а длина АВ составляет 12 см, найдите длину

Конечно, я могу помочь вам с решением этих задач. Давайте рассмотрим каждую из них по очереди.

1. Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (C)$$, где a, b и c - длины сторон треугольника, C - мера угла противолежащая стороне c. В нашем случае, угол А равен 90°, угол В равен $\cos (B)=\frac{3}{4}$ и длина АВ равна 12 см. Значит, длина стороны ВС равна $c$. Подставим данные в формулу и решим уравнение относительно $c$:

$$(12{)}^2=(AB{)}^2+(BC{)}^2-2\cdot (AB)\cdot (BC)\cdot \cos ({90}^{\circ })$$

$$144=144+(BC{)}^2$$

отсюда

$$(BC{)}^2=0$$

$$BC=0$$

Таким образом, длина ВС равна 0 см.

2. Чтобы найти высоту равнобедренного треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В данном случае, сторона треугольника равна 17 дм, а основание - 16 см. Обозначим высоту через h. Тогда, применяя теорему Пифагора, получим:

$h^2=(17\text{дм}{)}^2-(8\text{см}{)}^2$

$h^2=289{\text{дм}}^2-64{\text{см}}^2$

$h^2=28900{\text{см}}^2-64{\text{см}}^2$

$h^2=28836{\text{см}}^2$

$h=\sqrt{28836{\text{см}}^2}$

$h\approx 169.94\text{см}$.

Таким образом, высота равнобедренного треугольника равна примерно 169.94 см.

3. В данной задаче нам дана равнобедренная трапеция ABCD, диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно. Чтобы найти больший угол, нам нужно вычислить угол В.

Угол В равен $180°-2\cdot {\cos }^{-1}(\cos (B))$, где B - значение угла, равное 25°.

Угол В равен $180°-2\cdot {\cos }^{-1}(\cos (25°))$

Угол В равен $180°-2\cdot {\cos }^{-1}(0.9063)$

Угол В равен $180°-2\cdot 24.858$

Угол В равен $130.284°$

Таким образом, больший угол равен 130.284°.

4. В данной задаче параллелограмм ABCD, диагональ AC в два раза длиннее стороны AB, и $\mathrm{\angle }ACD$ имеет меру 20°. Нам нужно найти меньший угол между диагоналями параллелограмма.

Так как параллелограмм ABCD, то $\mathrm{\angle }ACB$ и $\mathrm{\angle }ADB$ смежные углы и, следовательно, равны.

Таким образом, меньший угол между диагоналями параллелограмма равен 20°.