1) В треугольниках с такими же отношениями сторон, полученные квадраты отношений сторон будут равны площади

1) Данное утверждение основано на теореме Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пусть у нас есть два треугольника с соответствующими сторонами $a$, $b$ и $c$, $d$, где $a:b=c:d$.
Тогда площадь первого треугольника можно выразить как $\frac{1}{2}ab$, а второго треугольника как $\frac{1}{2}cd$.
Согласно теореме Пифагора, $a^2+b^2=c^2$ и $c^2+d^2=e^2$, где $e$ - гипотенуза второго треугольника.
Если мы возведем отношения сторон в квадрат, то получим ${\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{d}\right)}^2={\left(\frac{c}{e}\right)}^2$, что эквивалентно $\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{d^2}=\frac{c^2}{e^2}$.
Следовательно, получаем, что площадь первого треугольника ($\frac{1}{2}ab$) равна площади второго треугольника ($\frac{1}{2}cd$).

2) Для решения этой задачи нам понадобится формула для суммы углов в многоугольнике. Для выпуклого $n$-угольника формула имеет вид:
$$Суммауглов=(n-2)\cdot 180градусов$$
В данном случае у нас выпуклый десятиугольник, поэтому сумма его углов равна $(10-2)\cdot 180=8\cdot 180=1440$ градусов.
Таким образом, сумма углов в данном выпуклом десятиугольнике составляет 1440 градусов Цельсия.

3) Синусом прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначим прямоугольный треугольник со сторонами $a$, $b$ и гипотенузой $c$.
Тогда синус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$, определяется как $\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$.
Синус является одним из тригонометрических отношений, которые используются для связи между углами и сторонами треугольника.
Отношение просто показывает, что синус угла определяется отношением длины катета к длине гипотенузы.

4) Пусть у нас есть треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$. Пусть $O_1$, $O_2$ и $O_3$ - это центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$, $BOC$, и $COA$ соответственно.
Докажем, что точка пересечения трех перпендикуляров, опущенных из вершин треугольника к сторонам, является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Рассмотрим перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Тогда по свойству окружности, угол $ABC$ равен углу $ADC$, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности.
Аналогично, угол $ACB$ равен углу $ADB$.

Из этого следует, что угол $A{O}_{1}B$ является прямым углом, так как он является суммой углов $ABC$ и $ACB$, что означает, что точка $O_1$ лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины $A$ к стороне $BC$.
Аналогично, точки $O_2$ и $O_3$ лежат на перпендикулярах, опущенных из вершин $B$ и $C$ к сторонам $CA$ и $AB$ соответственно.

Таким образом, точка пересечения этих трех перпендикуляров будет точкой $O$, которая является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.