1) В треугольниках с такими же отношениями сторон, полученные квадраты отношений сторон будут равны площади

1) Данное утверждение основано на теореме Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пусть у нас есть два треугольника с соответствующими сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), \(d\), где \(a : b = c : d\).
Тогда площадь первого треугольника можно выразить как \(\frac{1}{2}ab\), а второго треугольника как \(\frac{1}{2}cd\).
Согласно теореме Пифагора, \(a^2 + b^2 = c^2\) и \(c^2 + d^2 = e^2\), где \(e\) - гипотенуза второго треугольника.
Если мы возведем отношения сторон в квадрат, то получим \(\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{d}\right)^2 = \left(\frac{c}{e}\right)^2\), что эквивалентно \(\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{d^2} = \frac{c^2}{e^2}\).
Следовательно, получаем, что площадь первого треугольника (\(\frac{1}{2}ab\)) равна площади второго треугольника (\(\frac{1}{2}cd\)).

2) Для решения этой задачи нам понадобится формула для суммы углов в многоугольнике. Для выпуклого \(n\)-угольника формула имеет вид:
\[Сумма\;углов = (n-2) \cdot 180 градусов\]
В данном случае у нас выпуклый десятиугольник, поэтому сумма его углов равна \((10-2) \cdot 180 = 8 \cdot 180 = 1440\) градусов.
Таким образом, сумма углов в данном выпуклом десятиугольнике составляет 1440 градусов Цельсия.

3) Синусом прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначим прямоугольный треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\).
Тогда синус угла \(\alpha\), противолежащего катету \(a\), определяется как \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\).
Синус является одним из тригонометрических отношений, которые используются для связи между углами и сторонами треугольника.
Отношение просто показывает, что синус угла определяется отношением длины катета к длине гипотенузы.

4) Пусть у нас есть треугольник с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\). Пусть \(O_1\), \(O_2\) и \(O_3\) - это центры окружностей, описанных около треугольников \(ABC\), \(BOC\), и \(COA\) соответственно.
Докажем, что точка пересечения трех перпендикуляров, опущенных из вершин треугольника к сторонам, является центром окружности, описанной около треугольника \(ABC\).

Рассмотрим перпендикуляр, опущенный из вершины \(A\) к стороне \(BC\). Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\). Тогда по свойству окружности, угол \(ABC\) равен углу \(ADC\), так как они опираются на одну и ту же дугу окружности.
Аналогично, угол \(ACB\) равен углу \(ADB\).

Из этого следует, что угол \(AO_1 B\) является прямым углом, так как он является суммой углов \(ABC\) и \(ACB\), что означает, что точка \(O_1\) лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины \(A\) к стороне \(BC\).
Аналогично, точки \(O_2\) и \(O_3\) лежат на перпендикулярах, опущенных из вершин \(B\) и \(C\) к сторонам \(CA\) и \(AB\) соответственно.

Таким образом, точка пересечения этих трех перпендикуляров будет точкой \(O\), которая является центром окружности, описанной около треугольника \(ABC\).