1. В ромбе ABCD с длиной стороны AB равной 10 см, угол BAD равен 45°, прямая BE перпендикулярна плоскости ABC. Двугранный угол EABD равен 60°. а) Найдите расстояние от точки E до плоскости ABC. б) Вычислите угол между прямой AE и плоскостью ромба.
2. В треугольнике ABC с углом C равным 90° и длиной стороны BC равной 5 см, прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника. Расстояние от точки D до плоскости ABC равно 5√3. а) Найдите расстояние от точки D до прямой AC. б) Найдите двугранный угол DABC. в) Какие из плоскостей ABD, CBD и ADC перпендикулярны плоскости ABC и почему?
2. В треугольнике ABC с углом C равным 90° и длиной стороны BC равной 5 см, прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника. Расстояние от точки D до плоскости ABC равно 5√3. а) Найдите расстояние от точки D до прямой AC. б) Найдите двугранный угол DABC. в) Какие из плоскостей ABD, CBD и ADC перпендикулярны плоскости ABC и почему?
Volk
Задача 1:
а) Чтобы найти расстояние от точки E до плоскости ABC, нам понадобится использовать уравнение плоскости. Поскольку прямая BE перпендикулярна плоскости ABC, мы можем сказать, что вектор, отложенный от точки B до точки E, перпендикулярен вектору, лежащему в плоскости ABC. Обратим внимание, что плоскость ABC проходит через точку B и перпендикулярна вектору \(\overrightarrow{AB}\). То есть, плоскость ABC задается векторным уравнением:
\(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{r_0} \cdot \overrightarrow{n}\),
где \(\overrightarrow{r}\) - радиус-вектор точки плоскости, \(\overrightarrow{n}\) - нормальный вектор плоскости, \(\overrightarrow{r_0}\) - радиус-вектор точки, через которую проходит плоскость.
Так как мы знаем, что плоскость ABC проходит через точку B, радиус-вектор точки B равен \(\overrightarrow{r_0} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\). Теперь нужно найти нормальный вектор плоскости. Нам дано, что угол BAD равен 45°. Угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) в ромбе равен 90°, поэтому находить нормальный вектор плоскости будем через их векторное произведение. Векторное произведение задается следующей формулой:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}\).
Сначала найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Так как B и D являются вершинами ромба, мы можем найти эти векторы, используя координаты этих точек:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\),
\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -5\sqrt{2} \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 5\sqrt{2} \\ 0\end{pmatrix}\).
Теперь найдем векторное произведение:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ 5\sqrt{2} \\ 0\end{pmatrix}\).
Вычислим векторное произведение:
\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\).
Таким образом, нормальный вектор плоскости ABC равен \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\). Теперь воспользуемся уравнением плоскости:
\(\overrightarrow{r} \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\).
Для точки E радиус-вектор \(\overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\), где x, y и z - координаты точки E. Уравнение плоскости тогда примет вид:
\(0 \cdot x + 0 \cdot y - 25\sqrt{2} \cdot z = 0 \cdot 0 \cdot -25\sqrt{2}\),
\(-25\sqrt{2}z = 0\).
Теперь найдем z:
\(-25\sqrt{2}z = 0\),
\(z = \frac{0}{-25\sqrt{2}} = 0\).
Таким образом, точка E находится на плоскости ABC, а значит, расстояние от точки E до плоскости ABC равно 0.
б) Чтобы найти угол между прямой AE и плоскостью ромба, нам понадобится использовать скалярное произведение. Угол между векторами \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) может быть найден по следующей формуле:
\(\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|}\),
где \(\theta\) - угол между прямой AE и плоскостью ромба, \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) - векторы, касательные к этим объектам.
Прямая AE проходит через точки A(0, 0, 0) и E(x, y, z). Построим вектор \(\overrightarrow{AE}\):
\(\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\).
Мы уже вычислили нормальный вектор плоскости ABC и его значение равно \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\). Найдем вектор, касательный к плоскости:
\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{n} \times \overrightarrow{u}\),
где \(\overrightarrow{u}\) - вектор, проведенный от точки A до точки E:
\(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\).
Теперь найдем векторное произведение:
\(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\).
Вычислим векторное произведение:
\(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -25\sqrt{2}y \\ 25\sqrt{2}x \\ 0 \end{pmatrix}\).
Теперь найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{v}\):
\(\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -25\sqrt{2}y \\ 25\sqrt{2}x \\ 0 \end{pmatrix} = -25\sqrt{2}xy + 25\sqrt{2}xy + 0 \cdot z = 0\).
Теперь найдем длины векторов \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{v}\):
\(|\overrightarrow{AE}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),
\(|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(25\sqrt{2}y)^2 + (25\sqrt{2}x)^2 + 0^2} = \sqrt{1250x^2 + 1250y^2}\).
Подставим все значения в формулу:
\(\cos{\theta} = \frac{0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{1250x^2 + 1250y^2}} = 0\).
Таким образом, угол между прямой AE и плоскостью ромба равен 0°.
Задача 2:
а) Чтобы найти расстояние от точки D до прямой AC, мы можем использовать понятие перпендикуляра. Если точка D находится на прямой AC, то вектор \(\overrightarrow{AC}\) должен быть перпендикулярен вектору, отложенному от точки D до прямой AC. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно найти, используя координаты точек A и C:
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix}\),
где \(a_x\), \(a_y\), \(a_z\) - координаты точки A, \(c_x\), \(c_y\), \(c_z\) - координаты точки C.
Так как угол С равен 90°, точка B находится в середине гипотенузы AC. Таким образом, координаты точки B равны средним значениям координат точек A и C:
\(b_x = \frac{a_x + c_x}{2}\),
\(b_y = \frac{a_y + c_y}{2}\),
\(b_z = \frac{a_z + c_z}{2}\).
Теперь вектор \(\overrightarrow{BD}\), отложенный от точки B до точки D, равен:
\(\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}d_x \\ d_y \\ d_z\end{pmatrix}\),
где \(d_x\), \(d_y\), \(d_z\) - координаты точки D.
Так как \(\overrightarrow{BD}\) должен быть перпендикулярен \(\overrightarrow{AC}\), их скалярное произведение должно быть равно 0:
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).
Подставим значения и найдем расстояние от точки D до прямой AC.
б) Чтобы найти двугранный угол DABC, нам нужно найти угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью, проходящей через сторону BC и перпендикулярной плоскости ABC. Мы знаем, что плоскость ABC проходит через точку А, поэтому мы можем найти нормальный вектор плоскости ABC, используя векторное произведение сторон AB и AC треугольника ABC. Так как сторона AB треугольника равняется \(\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix}\), а сторона AC равняется \(\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix}\), найдем их векторное произведение:
\(\overrightarrow{n} = (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix}) \times (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix})\).
Получим нормальный вектор плоскости ABC. Теперь найдем угол между плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через сторону BC и перпендикулярной плоскости ABC, используя скалярное произведение нормальных векторов обеих плоскостей.
в) Плоскость ABD перпендикулярна плоскости ABC. Обратите внимание, что для того, чтобы плоскость была перпендикулярна плоскости ABC, ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости ABC. Так как нормальный вектор плоскости ABC равен \(\overrightarrow{n} = (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix}) \times (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix})\), чтобы найти нормальный вектор плоск
а) Чтобы найти расстояние от точки E до плоскости ABC, нам понадобится использовать уравнение плоскости. Поскольку прямая BE перпендикулярна плоскости ABC, мы можем сказать, что вектор, отложенный от точки B до точки E, перпендикулярен вектору, лежащему в плоскости ABC. Обратим внимание, что плоскость ABC проходит через точку B и перпендикулярна вектору \(\overrightarrow{AB}\). То есть, плоскость ABC задается векторным уравнением:
\(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{r_0} \cdot \overrightarrow{n}\),
где \(\overrightarrow{r}\) - радиус-вектор точки плоскости, \(\overrightarrow{n}\) - нормальный вектор плоскости, \(\overrightarrow{r_0}\) - радиус-вектор точки, через которую проходит плоскость.
Так как мы знаем, что плоскость ABC проходит через точку B, радиус-вектор точки B равен \(\overrightarrow{r_0} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\). Теперь нужно найти нормальный вектор плоскости. Нам дано, что угол BAD равен 45°. Угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) в ромбе равен 90°, поэтому находить нормальный вектор плоскости будем через их векторное произведение. Векторное произведение задается следующей формулой:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}\).
Сначала найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Так как B и D являются вершинами ромба, мы можем найти эти векторы, используя координаты этих точек:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\),
\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -5\sqrt{2} \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 5\sqrt{2} \\ 0\end{pmatrix}\).
Теперь найдем векторное произведение:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ 5\sqrt{2} \\ 0\end{pmatrix}\).
Вычислим векторное произведение:
\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\).
Таким образом, нормальный вектор плоскости ABC равен \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\). Теперь воспользуемся уравнением плоскости:
\(\overrightarrow{r} \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\).
Для точки E радиус-вектор \(\overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\), где x, y и z - координаты точки E. Уравнение плоскости тогда примет вид:
\(0 \cdot x + 0 \cdot y - 25\sqrt{2} \cdot z = 0 \cdot 0 \cdot -25\sqrt{2}\),
\(-25\sqrt{2}z = 0\).
Теперь найдем z:
\(-25\sqrt{2}z = 0\),
\(z = \frac{0}{-25\sqrt{2}} = 0\).
Таким образом, точка E находится на плоскости ABC, а значит, расстояние от точки E до плоскости ABC равно 0.
б) Чтобы найти угол между прямой AE и плоскостью ромба, нам понадобится использовать скалярное произведение. Угол между векторами \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) может быть найден по следующей формуле:
\(\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|}\),
где \(\theta\) - угол между прямой AE и плоскостью ромба, \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) - векторы, касательные к этим объектам.
Прямая AE проходит через точки A(0, 0, 0) и E(x, y, z). Построим вектор \(\overrightarrow{AE}\):
\(\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\).
Мы уже вычислили нормальный вектор плоскости ABC и его значение равно \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix}\). Найдем вектор, касательный к плоскости:
\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{n} \times \overrightarrow{u}\),
где \(\overrightarrow{u}\) - вектор, проведенный от точки A до точки E:
\(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\).
Теперь найдем векторное произведение:
\(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\).
Вычислим векторное произведение:
\(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -25\sqrt{2}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -25\sqrt{2}y \\ 25\sqrt{2}x \\ 0 \end{pmatrix}\).
Теперь найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{v}\):
\(\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -25\sqrt{2}y \\ 25\sqrt{2}x \\ 0 \end{pmatrix} = -25\sqrt{2}xy + 25\sqrt{2}xy + 0 \cdot z = 0\).
Теперь найдем длины векторов \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{v}\):
\(|\overrightarrow{AE}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),
\(|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(25\sqrt{2}y)^2 + (25\sqrt{2}x)^2 + 0^2} = \sqrt{1250x^2 + 1250y^2}\).
Подставим все значения в формулу:
\(\cos{\theta} = \frac{0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{1250x^2 + 1250y^2}} = 0\).
Таким образом, угол между прямой AE и плоскостью ромба равен 0°.
Задача 2:
а) Чтобы найти расстояние от точки D до прямой AC, мы можем использовать понятие перпендикуляра. Если точка D находится на прямой AC, то вектор \(\overrightarrow{AC}\) должен быть перпендикулярен вектору, отложенному от точки D до прямой AC. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно найти, используя координаты точек A и C:
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix}\),
где \(a_x\), \(a_y\), \(a_z\) - координаты точки A, \(c_x\), \(c_y\), \(c_z\) - координаты точки C.
Так как угол С равен 90°, точка B находится в середине гипотенузы AC. Таким образом, координаты точки B равны средним значениям координат точек A и C:
\(b_x = \frac{a_x + c_x}{2}\),
\(b_y = \frac{a_y + c_y}{2}\),
\(b_z = \frac{a_z + c_z}{2}\).
Теперь вектор \(\overrightarrow{BD}\), отложенный от точки B до точки D, равен:
\(\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}d_x \\ d_y \\ d_z\end{pmatrix}\),
где \(d_x\), \(d_y\), \(d_z\) - координаты точки D.
Так как \(\overrightarrow{BD}\) должен быть перпендикулярен \(\overrightarrow{AC}\), их скалярное произведение должно быть равно 0:
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).
Подставим значения и найдем расстояние от точки D до прямой AC.
б) Чтобы найти двугранный угол DABC, нам нужно найти угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью, проходящей через сторону BC и перпендикулярной плоскости ABC. Мы знаем, что плоскость ABC проходит через точку А, поэтому мы можем найти нормальный вектор плоскости ABC, используя векторное произведение сторон AB и AC треугольника ABC. Так как сторона AB треугольника равняется \(\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix}\), а сторона AC равняется \(\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix}\), найдем их векторное произведение:
\(\overrightarrow{n} = (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix}) \times (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix})\).
Получим нормальный вектор плоскости ABC. Теперь найдем угол между плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через сторону BC и перпендикулярной плоскости ABC, используя скалярное произведение нормальных векторов обеих плоскостей.
в) Плоскость ABD перпендикулярна плоскости ABC. Обратите внимание, что для того, чтобы плоскость была перпендикулярна плоскости ABC, ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости ABC. Так как нормальный вектор плоскости ABC равен \(\overrightarrow{n} = (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix}) \times (\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_x \\ c_y \\ c_z\end{pmatrix})\), чтобы найти нормальный вектор плоск
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
