1. В каком количестве существуют пятизначные телефонные номера, где цифры 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9 не повторяются и: - номер

1. Давайте рассмотрим каждый из заданных условий по отдельности.

1) Номер не может начинаться с 0. Значит, первая цифра номера может быть только одной из следующих: 1, 2, 3, 5, 7, 9. Это означает, что у нас есть 6 вариантов для первой цифры.

2) Первая и последняя цифры - 1 и 9. Так как первая цифра уже определена (1), то последняя цифра должна быть равна 9.

3) Цифры 5 и 7 располагаются рядом. Если цифры 5 и 7 располагаются рядом, то есть только два варианта: либо 57, либо 75.

Теперь давайте соберем все эти условия вместе:

У нас есть 6 вариантов для первой цифры, один вариант для последней цифры и два варианта для цифр 5 и 7, которые стоят рядом. Значит, общее количество пятизначных номеров, удовлетворяющих всем условиям, равно:
\(6 \times 1 \times 2 = 12\)

Таким образом, существует 12 пятизначных телефонных номеров, где цифры 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9 не повторяются и:
- номер не может начинаться с 0,
- первая и последняя цифры - 1 и 9,
- цифры 5 и 7 располагаются рядом.

2. Для решения этой задачи воспользуемся принципом умножения.

Сначала выберем двух автогонщиков из 8 доступных. Это можно сделать по формуле сочетаний:
\(^8C_2 = \frac{{8!}}{{2! \cdot (8-2)!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2 \cdot 1}} = 28\)

Затем выберем трех автомехаников из 12 доступных. Опять же, это можно сделать по формуле сочетаний:
\(^{12}C_3 = \frac{{12!}}{{3! \cdot (12-3)!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 220\)

Теперь мы можем объединить эти результаты, учитывая, что каждая комбинация выбора автогонщиков сочетается с каждой комбинацией выбора автомехаников. Поэтому общее количество возможных комбинаций для формирования команды на ралли составляет:
\(28 \times 220 = 6,160\)

Таким образом, существует 6,160 возможных комбинаций для формирования команды на ралли из 8 автогонщиков и 12 автомехаников, если нужно выбрать двух автогонщиков, где один будет рулевым, и троих автомехаников.

3. В данной задаче мы должны разделить взвод из 18 солдат на две группы. Порядок, в котором солдаты распределяются в группы, не имеет значения. Воспользуемся формулой сочетаний для решения этой задачи.

Количество вариантов разделения взвода из 18 солдат на две группы составляет:
\(^{18}C_{9} = \frac{{18!}}{{9! \cdot (18-9)!}} = \frac{{18!}}{{9! \cdot 9!}}\)

Подсчитаем эту величину:
\(^{18}C_{9} = \frac{{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}}{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\)

Вычислим числитель и знаменатель:
числитель: \(18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = 2,147,657,600\)
знаменатель: \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362,880\)

Поделим числитель на знаменатель:
\(^{18}C_{9} = \frac{{2,147,657,600}}{{362,880}} = 5,904\)

Таким образом, существует 5,904 варианта разделения взвода из 18 солдат на две группы.