1. В ∆ABC, где угол C прямой, гипотенуза AB равна 5 см, BC равна 4 см и AC равна 3 см. Найдите sin∠A. А)4/5; Б)3/5

1. Решение задачи:
В данной задаче нам даны значения сторон треугольника ABC: AB = 5 см, BC = 4 см и AC = 3 см. Нам необходимо найти значение sin∠A.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов, которая гласит: в любом треугольнике отношение длин сторон к синусам противолежащих углов равно: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), где a, b, c - стороны треугольника, а A, B, C - противолежащие им углы.

В нашем случае, мы знаем значения сторон AB = 5 см, BC = 4 см и AC = 3 см. Также, у нас есть угол C, который является прямым углом. Поэтому, нам нужно найти sin∠A.

Используя теорему синусов, мы можем записать:
\(\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}\)

Заметим, что sin C = 1, так как угол C является прямым углом.

Подставим известные значения в формулу:
\(\frac{5}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{3}{1}\)

Так как BC является гипотенузой, а AB и AC являются катетами, по теореме Пифагора мы можем узнать, что \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), то есть \(3^2 + 4^2 = 5^2\), или \(9 + 16 = 25\), что верно. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным.

Для прямоугольного треугольника угол A - противолежащий прямому углу C, поэтому \(sin A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}\).

Таким образом, мы можем заключить, что sin∠A = 3/5.

Ответ: Б) 3/5.

2. Решение задачи:
Дано выражение: 1 - sin^2 α + cos^2 α.

Мы знаем, что sin^2 α + cos^2 α = 1, так как это является одним из свойств тригонометрического соотношения.

Подставляя данный результат в выражение, мы получаем: 1 - (sin^2 α + cos^2 α) + cos^2 α.

Упрощая выражение, мы получаем: 1 - 1 + cos^2 α + cos^2 α.

Объединяя подобные члены, мы имеем: 1 + 2cos^2 α.

Таким образом, упрощенное выражение равно 1 + 2cos^2 α.

Ответ: А) 2cos^2 α.

3. Решение задачи:
Дано две стороны треугольника, равные 7 м и 9 м, и угол между ними равен 60°.

Чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем использовать закон косинусов, который формулируется следующим образом: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\), где c - третья сторона, a и b - известные стороны, C - угол между ними.

Подставляя известные значения, мы получаем: \(c^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 60°\).

Вычисляя выражение: \(c^2 = 49 + 81 - 63\).

Далее, приведем числа в упрощенный вид: \(c^2 = 127 - 63 = 64\).

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы получаем: \(c = \sqrt{64}\).

Упрощая, получаем: \(c = 8\).

Таким образом, третья сторона треугольника равна 8 м.

Ответ: А) √47 м.

4. Решение задачи:
Дано, что в треугольнике ABC, ∠A = 60°, ∠B = 30° и AB = 20 см.

Мы можем найти сторону BC, используя теорему синусов.

Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длин сторон к синусам противолежащих углов равно. В данном случае, мы можем записать: \(\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B}\).

Подставляя известные значения, получаем: \(\frac{20}{\sin 60°} = \frac{BC}{\sin 30°}\).

Вычисляя синусы 60° и 30°, мы получаем: \(\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\frac{1}{2}}\).

Упрощая уравнение, мы имеем: \(\frac{20 \cdot 2}{\sqrt{3}} = BC\).

Далее, упрощаем числа: \(\frac{40}{\sqrt{3}} = BC\).

Мы можем рационализировать дробь, умножая ее на \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\): \(BC = \frac{40 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3}\).

Таким образом, сторона BC равна \(\frac{40\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ: Б) 20√3 см.

5. Решение задачи:
Дано, что основание равнобедренного треугольника равно 8 м, а угол между боковыми сторонами равен 60°.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), где a и b - равные стороны треугольника, C - между ними угол.

В нашем случае, у нас есть основание, которое равно 8 м, и угол между боковыми сторонами, равный 60°.

Подставляя известные значения в формулу, мы получаем: \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin 60°\).

Вычисляя синус 60°, мы получаем: \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Выполняя вычисления: \(S = 16 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Далее, упрощаем выражение: \(S = 32 \cdot \sqrt{3}\).

Таким образом, площадь треугольника равна 32√3 м².

Ответ: А) 32 см².