1. У Миши пришли гости: Саша, Леша, Петя, Коля и Аркаша. Торт был разрезан на 6 кусков. а) Сколько кусков торта может

1. а) У нас есть 6 кусков торта и 5 детей: Саша, Леша, Петя, Коля и Аркаша. Каждый ребенок может выбрать один из 6 кусков торта. Таким образом, каждый ребенок может выбрать по 6 кусков торта.

б) Миша уже выбрал один кусок торта. Теперь у нас осталось 5 кусков торта и 5 детей. Каждый ребенок может выбрать один из оставшихся 5 кусков торта. Таким образом, каждый ребенок может выбрать по 5 кусков торта.

в) Теперь у нас есть условие, что Аркаша всегда выбирает кусок, который находится рядом с куском, выбранным Сашей. Пусть Саша выбрал один из 6 кусков торта. Тогда Аркаша может выбрать один из двух кусков, которые находятся рядом со Сашинным куском. Оставшиеся дети (Леша, Петя и Коля) могут выбрать любой из оставшихся 4 кусков торта. Таким образом, каждый ребенок, кроме Аркаши, может выбрать по 4 куска торта, а Аркаша - 2 куска.

2. У нас есть 16 дежурных, и из них нужно выбрать троих для работы в столовой. Это задача на выбор комбинации из 16 по 3. Мы можем использовать формулу для вычисления количества комбинаций:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество выбираемых элементов. В нашем случае, \(n = 16\) и \(k = 3\). Подставим значения в формулу:

\[\binom{16}{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3!13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560\]

Таким образом, возможно 560 вариантов выбора трех дежурных для работы в столовой.

3. У нас есть золотые, серебряные и бронзовые медали олимпийских игр по теннису, которые нужно распределить. Пусть у нас будет \(x\) возможных способов распределения этих медалей.

Для размещения золотой медали у нас есть 3 варианта выбора (один из трех игроков может стать победителем). После этого мы должны выбрать одного из оставшихся двух игроков для серебряной медали, что дает нам еще 2 варианта выбора. Оставшийся игрок получит бронзовую медаль.

Таким образом, всего возможных распределений золотых, серебряных и бронзовых медалей будет \(3 \cdot 2 = 6\).

Ответ: Возможно 6 различных распределений золотых, серебряных и бронзовых медалей олимпийских игр по теннису.