1) У каждого ученика этого класса есть возможность посещать оба кружка. 2) Минимум два ученика из этого класса посещают

Дана задача о посещении двух кружков учениками одного класса. В задаче указаны следующие условия:

1) У каждого ученика этого класса есть возможность посещать оба кружка.
2) Минимум два ученика из этого класса посещают оба кружка.
3) Если ученик из этого класса посещает кружок по математике, то он также будет посещать кружок по истории.
4) Не более 21 человека из этого класса одновременно посещают оба кружка.

Для решения задачи можно воспользоваться представлением множеств и логическими операциями. Пусть \(М\) - это множество учеников, посещающих кружок по математике, \(И\) - множество учеников, посещающих кружок по истории, и \(О\) - множество учеников, которые посещают оба кружка.

Исходя из условий задачи, можно сформулировать следующие утверждения:
1) \(М \cup И \subset М\), то есть все ученики, посещающие кружок по математике, также посещают кружок по истории.
2) \(О \subset М \cap И\), то есть все ученики, посещающие оба кружка, также посещают их по отдельности.
3) \(М \cap И \subset О\), то есть все ученики, посещающие и математику, и историю, посещают и оба кружка.

Теперь, с учетом указанных утверждений, мы можем приступить к решению задачи.

Пусть число учеников, посещающих кружок по математике, равно \(n_1\), а число учеников, посещающих кружок по истории, равно \(n_2\). Тогда по условию 2) имеем:
\[n_1 + n_2 - О \geq 2\]

По условию 1) \(М \cup И \subset М\), а это значит, что все ученики, посещающие кружок по математике, также посещают историю. Таким образом, можно записать:
\[n_1 \leq n_2\]

Теперь воспользуемся условием 4), которое гласит: "Не более 21 человека из этого класса одновременно посещают оба кружка". Это означает:
\[О \leq 21\]

С учетом данных условий, мы можем перейти к решению задачи.

По условию 2) имеем:
\[n_1 + n_2 - О \geq 2\]

С учетом условий \(n_1 \leq n_2\) и \(О \leq 21\), мы можем записать:
\[n_2 + n_2 - 21 \geq 2\]
\[2n_2 - 21 \geq 2\]
\[2n_2 \geq 23\]
\[n_2 \geq \frac{23}{2}\]

Так как число учеников должно быть целым, то наименьшее возможное значение \(n_2\) равно 12.

Теперь мы можем найти значение \(n_1\), используя условие \(n_1 \leq n_2\).
\[n_1 \leq 12\]

Таким образом, возможные значения для \(n_1\) и \(n_2\) при выполнении всех условий задачи будут:
\[n_1 = 12, n_2 = 12\]

Таким образом, в классе должно быть не менее 12 учеников, посещающих кружок по истории, и не менее 12 учеников, посещающих кружок по математике, чтобы выполнялись условия задачи. Всего количество учеников, посещающих оба кружка (\(О\)), не должно превышать 21 человека.