1) Сколько ребер параллельных плоскости aa1b1b существует в параллелепипеде? 2) Если точки m и k являются серединами

1) Для решения этой задачи, вспомним, что в параллелепипеде есть 12 ребер. Однако не все из них параллельны плоскости \(aa_1b_1b\). Рассмотрим грани параллелепипеда: \(abcd\), \(a_1b_1c_1d_1\), \(aab_1b\), \(bcc_1b_1\), \(add_1a_1\), \(cdd_1c_1\).
В грани \(abc\) есть два ребра, параллельных плоскости \(aa_1b_1b\): \(ab\) и \(bc\).
Аналогично, в грани \(add_1a_1\) есть два ребра: \(aa_1\) и \(ad\), параллельных плоскости \(aa_1b_1b\).
То есть, всего мы имеем 4 ребра, параллельные плоскости \(aa_1b_1b\).

2) Чтобы определить плоскость, параллельную прямой \(mk\), нам нужно понять, что множество параллельных прямых составляет плоскость. В данной задаче у нас есть куб \(abcdefgh\).
\(m\) - это середина диагонали \(ac\), а \(k\) - середина диагонали \(a_1b\).
Значит, прямая \(mk\) проходит через две середины диагоналей куба.
Таким образом, прямая \(mk\) будет параллельна плоскости, проходящей через середины противоположных ребер куба.

3) Для решения этой задачи, нам нужно знать, что отрезок, соединяющий середины двух отрезков находится на половинном расстоянии между этими двумя отрезками. Также, примем во внимание, что \(\overline{am}\) является диагональю основания, а \(\overline{dk}\) - диагональ пирамиды. В данном случае, \(\overline{dc}\) является основанием пирамиды, которое равно 8. Значит \(\overline{am}\) также равно 8. То есть, отрезок, соединяющий середины \(\overline{am}\) и \(\overline{dk}\), также будет иметь длину 8.

4) В этой задаче нам даны несколько условий:
- \(ad = 16\),
- \(dc = 12\),
- \(dd_1 = 2d_1m\),
- \(a_1k = kd\),
- \(c_1n = nd\).

Плоскость \(kmn\) пересекает грань \(abcd\), идущую через ребро \(ab\).

Воспользуемся равенством треугольников. Мы знаем, что \(dd_1 = 2d_1m\), значит, \(dm = \frac{dd_1}{2}\).

Также, у нас есть равенства сторон параллелепипеда: \(a_1k = kd\) и \(c_1n = nd\).

Теперь, рассмотрим треугольник \(adm\). Мы знаем, что \(ad = 16\) и \(dm = \frac{dd_1}{2}\), значит \(\overline{am} = ad - dm = 16 - \frac{dd_1}{2}\).

Таким образом, для нахождения длины отрезка, по которой плоскость \(kmn\) пересекает грань \(abcd\), мы должны сложить все стороны этого отрезка: \(\overline{ab}\), \(\overline{dm}\), \(\overline{mk}\) и \(\overline{ka_1}\).

Теперь, подставим все известные значения:
- \(\overline{ab}\) - это \(dc\), то есть 12,
- \(\overline{dm}\) - это \(\frac{dd_1}{2}\),
- \(\overline{mk}\) - это \(a_1k\), то есть \(kd\),
- \(\overline{ka_1}\) - это \(a_1k\), также \(kd\).

Тогда, общая длина отрезка будет: \(12 + \frac{dd_1}{2} + kd + kd\).