1. Сколько раз за 1,4 минуты кинетическая энергия математического маятника, длиной 2,7 м, достигнет максимального

Задача 1:

Для решения этой задачи, нам необходимо знать формулу для кинетической энергии математического маятника:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса маятника, \(v\) - скорость маятника.

Дано:
Длина маятника \(L = 2,7 м\)
Время колебаний \(T = 1,4 мин = 84 сек\)
Ускорение свободного падения \(g = 9,8 м/с^2\)

Математический маятник считается достигшим максимальной кинетической энергии, когда его скорость максимальна. Максимальная скорость достигается в крайних точках колебаний, когда маятник достигает максимальной амплитуды \(A\).

Максимальная скорость маятника можно найти по формуле:
\[v_{max} = \sqrt{2gL}\]

где \(v_{max}\) - максимальная скорость, \(g\) - ускорение свободного падения, \(L\) - длина маятника.

Период колебаний маятника можно найти по формуле:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

где \(\pi\) - математическая постоянная (приближенно, \(\pi \approx 3.14\)).

Округляя до сотых, получаем следующие ответы:

1. Максимальное количество раз, когда кинетическая энергия достигает максимального значения:
Количество периодов колебаний \(n\) можно найти, разделив время колебаний на период колебаний:
\[n = \frac{84}{T}\]

2. Подставим длину маятника и ускорение свободного падения в формулу для максимальной скорости:
\[v_{max} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 2.7}\]

3. Подставим длину маятника и ускорение свободного падения в формулу для периода колебаний:
\[T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{2.7}{9.8}}\]

Ответ на задачу 1:
1. Количество раз, когда кинетическая энергия достигает максимального значения: \(n \approx \frac{84}{T}\)
2. Максимальная скорость маятника: \(v_{max} \approx \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 2.7}\)
3. Период колебаний маятника: \(T \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{2.7}{9.8}}\)

Задача 2:

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу Гука для колебательных систем:

\[E_{\text{полн}} = \frac{1}{2} k A^2\]

где \(E_{\text{полн}}\) - полная энергия системы, \(k\) - жесткость пружины, \(A\) - амплитуда колебаний.

Дано:
Масса груза \(m = 150 г = 0.15 кг\)
Жесткость пружины \(k = 20 Н/м\)
Полная энергия колебаний \(E_{\text{полн}} = 66 Дж\)
Ускорение свободного падения \(g = 9.8 м/с^2\)

1. Амплитуду колебаний груза можно найти по формуле:
\[A = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\text{полн}}}{k}}\]

2. Период колебаний маятника можно найти, используя массу груза и жесткость пружины:
\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

3. Максимальную скорость груза можно найти, используя амплитуду колебаний и период колебаний:
\[v_{max} = 2 \pi f A\]
где \(f = \frac{1}{T}\) - частота колебаний.

Ответ на задачу 2:
1. Амплитуда колебаний груза: \(A \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 66}{20}}\)
2. Период колебаний маятника: \(T \approx 2 \pi \sqrt{\frac{0.15}{20}}\)
3. Максимальная скорость груза: \(v_{max} = 2 \pi f A\), где \(f = \frac{1}{T}\)