1) Сколько пятизначных чисел можно сформировать из цифр 1 2 3 4 5 6 7 8 при условии, что они могут повторяться? 2) Даны

из Ташкента в Ургенч?
1) Для решения этой задачи можно использовать принцип умножения. В данном случае у нас есть 8 возможных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), и каждая из них может находиться на любой из пяти позиций в числе. Таким образом, общее количество пятизначных чисел можно вычислить как произведение количества цифр и количества позиций: \(8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 32768\). Таким образом, можно сформировать 32768 пятизначных чисел из данных цифр, при условии, что они могут повторяться.

2) Для построения треугольника нам необходимо выбрать 3 точки из общего числа точек, которые являются вершинами треугольника. Это можно сделать посредством комбинаторики. У нас есть 4 точки на одной прямой и 3 точки на другой прямой. Тогда общее количество возможных треугольников можно вычислить как произведение количества точек на первой прямой и количества точек на второй прямой: \(4 \times 3 = 12\). Итак, используя эти точки в качестве вершин, можно построить 12 различных треугольников.

3) В данной задаче рассадить трех учащихся на 6 стульях можно рассмотреть как размещение с повторениями. Мы знаем, что рассадить учащихся нужно на 6 стульях, и каждый учащийся может занять любой из стульев. Таким образом, количество вариантов рассадить трех учащихся можно вычислить по формуле размещения с повторениями: \(\frac{{n!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdot \ldots}}\), где \(n\) - общее количество мест (6 стульев) и \(n_1, n_2, n_3, \ldots\) - количество учащихся каждого типа (3 учащихся). В данном случае это будет равно \(\frac{{6!}}{{3! \cdot 3! \cdot 3!}} = \frac{{720}}{{6 \cdot 6}} = 20\). Итак, существует 20 различных вариантов рассадить трех учащихся на 6 стульях.

4) Чтобы выбрать капитана и его заместителя из 11 членов футбольной команды, мы можем использовать сочетания. Для выбора капитана у нас есть 11 возможных вариантов, а для выбора заместителя есть 10 возможных вариантов (так как один член команды уже выбран в качестве капитана). Общее количество комбинаций можно вычислить как произведение количества вариантов для капитана и количества вариантов для заместителя: \(11 \times 10 = 110\). Таким образом, существует 110 различных комбинаций, которые можно создать, выбирая капитана и его заместителя из 11 членов футбольной команды.

5) Чтобы вычислить количество путей, ведущих из Богистана в Ургенч через Ташкент, можно использовать принцип сложения. У нас есть два пути из Богистана в Ташкент и четыре пути из Ташкента в Ургенч. Следовательно, общее количество путей можно вычислить как сумму количества путей из Богистана в Ташкент и количества путей из Ташкента в Ургенч: \(2 + 4 = 6\). Таким образом, существует 6 различных путей, ведущих из Богистана в Ургенч, если есть два пути из Богистана в Ташкент и четыре пути из Ташкента в Ургенч.