1) Сколько пятизначных чисел можно сформировать из цифр 1 2 3 4 5 6 7 8 при условии, что они могут повторяться? 2) Даны

из Ташкента в Ургенч?
1) Для решения этой задачи можно использовать принцип умножения. В данном случае у нас есть 8 возможных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), и каждая из них может находиться на любой из пяти позиций в числе. Таким образом, общее количество пятизначных чисел можно вычислить как произведение количества цифр и количества позиций: $8\times 8\times 8\times 8\times 8=32768$. Таким образом, можно сформировать 32768 пятизначных чисел из данных цифр, при условии, что они могут повторяться.

2) Для построения треугольника нам необходимо выбрать 3 точки из общего числа точек, которые являются вершинами треугольника. Это можно сделать посредством комбинаторики. У нас есть 4 точки на одной прямой и 3 точки на другой прямой. Тогда общее количество возможных треугольников можно вычислить как произведение количества точек на первой прямой и количества точек на второй прямой: $4\times 3=12$. Итак, используя эти точки в качестве вершин, можно построить 12 различных треугольников.

3) В данной задаче рассадить трех учащихся на 6 стульях можно рассмотреть как размещение с повторениями. Мы знаем, что рассадить учащихся нужно на 6 стульях, и каждый учащийся может занять любой из стульев. Таким образом, количество вариантов рассадить трех учащихся можно вычислить по формуле размещения с повторениями: $\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdot \dots }$, где $n$ - общее количество мест (6 стульев) и $n_1,n_2,n_3,\dots$ - количество учащихся каждого типа (3 учащихся). В данном случае это будет равно $\frac{6!}{3!\cdot 3!\cdot 3!}=\frac{720}{6\cdot 6}=20$. Итак, существует 20 различных вариантов рассадить трех учащихся на 6 стульях.

4) Чтобы выбрать капитана и его заместителя из 11 членов футбольной команды, мы можем использовать сочетания. Для выбора капитана у нас есть 11 возможных вариантов, а для выбора заместителя есть 10 возможных вариантов (так как один член команды уже выбран в качестве капитана). Общее количество комбинаций можно вычислить как произведение количества вариантов для капитана и количества вариантов для заместителя: $11\times 10=110$. Таким образом, существует 110 различных комбинаций, которые можно создать, выбирая капитана и его заместителя из 11 членов футбольной команды.

5) Чтобы вычислить количество путей, ведущих из Богистана в Ургенч через Ташкент, можно использовать принцип сложения. У нас есть два пути из Богистана в Ташкент и четыре пути из Ташкента в Ургенч. Следовательно, общее количество путей можно вычислить как сумму количества путей из Богистана в Ташкент и количества путей из Ташкента в Ургенч: $2+4=6$. Таким образом, существует 6 различных путей, ведущих из Богистана в Ургенч, если есть два пути из Богистана в Ташкент и четыре пути из Ташкента в Ургенч.