1. Сколько четырёхзначных чисел существует, которые а) являются чётными; б) содержат только числа, делящиеся на

1. Чтобы решить эту задачу, рассмотрим каждый пункт по отдельности:

а) Чтобы число было четным, последняя цифра (единицы) должна быть четной. Это означает, что у нас есть два варианта для последней цифры: 0 или 2. Остальные три цифры могут быть любыми из десяти возможных цифр (от 0 до 9). Таким образом, общее количество четырехзначных чисел, являющихся четными, равно: 2 * 10 * 10 * 10 = 2000.

б) Чтобы число содержало только числа, делящиеся на 2, каждая цифра должна быть четной. Это означает, что у нас есть пять вариантов для каждой цифры: 0, 2, 4, 6 или 8. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел, содержащих только числа, делящиеся на 2, равно: 5 * 5 * 5 * 5 = 625.

в) Чтобы число имело четную сумму цифр, сумма цифр должна быть четной. Для этого нужно рассмотреть все возможные комбинации цифр:

- Четная сумма из четырех нечетных цифр: здесь у нас есть пять вариантов для каждой цифры, поскольку у нас только пять нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9). Т.е. общее количество таких чисел равно: 5 * 5 * 5 * 5 = 625.

- Четная сумма из двух четных и двух нечетных цифр: у нас есть пять вариантов для каждой четной цифры (0, 2, 4, 6, 8) и пять вариантов для каждой нечетной цифры. Таким образом, общее количество таких чисел равно: 5 * 5 * 5 * 5 = 625.

Итого, общее количество четырехзначных чисел с четной суммой цифр равно 625 + 625 = 1250.

г) Чтобы число делилось на 4, последние две цифры должны образовывать число, делящееся на 4. Данная задача разбивается на подзадачи:

- Количество двузначных чисел, делящихся на 4, равно 25 (поскольку есть 25 комбинаций чисел от 00 до 99, делящихся на 4).
- Первая цифра (тысячи) может быть любой цифрой от 1 до 9 (так как число должно быть четырехзначным).
- Средняя цифра может быть любой цифрой от 0 до 9.

Таким образом, общее количество четырехзначных чисел, делящихся на 4, равно: 25 * 9 * 10 = 2250.

2. Решим эту задачу, рассмотрев каждый пункт отдельно:

а) Чтобы первая буква была гласной, у нас есть три варианта: А, Е и О. Остальные три буквы могут быть любыми из оставшихся пяти возможных букв: Б, Д, К, М. Таким образом, общее количество четырехбуквенных слов с первой гласной равно: 3 * 5 * 5 * 5 = 375.

б) Чтобы две последние буквы были Е и М, у нас есть два варианта для каждой буквы: Е и М. Первые две буквы могут быть любыми из оставшихся пяти возможных букв. Таким образом, общее количество четырехбуквенных слов с последними буквами Е и М равно: 5 * 5 * 2 * 2 = 100.

в) Чтобы гласные и согласные буквы чередовались, мы должны разместить гласные и согласные буквы поочередно. У нас есть три гласные буквы (А, Е, О) и три согласные буквы (Б, Д, К). Первая буква может быть любой из трех гласных букв, вторая - любой из трех согласных, третья - снова любая из гласных, и четвертая - снова любая из согласных. Таким образом, общее количество четырехбуквенных слов с чередующимися гласными и согласными буквами равно: 3 * 3 * 3 * 3 = 81.

г) Чтобы все буквы были гласными, у нас есть три варианта для каждой буквы: А, Е или О. Таким образом, общее количество четырехбуквенных слов, состоящих только из гласных, равно: 3 * 3 * 3 * 3 = 81.

д) Чтобы все буквы были согласными, у нас есть три варианта для каждой буквы: Б, Д или К. Таким образом, общее количество четырехбуквенных слов, состоящих только из согласных, равно: 3 * 3 * 3 * 3 = 81.

е) Чтобы отсутствовала буква Е, у нас будет пять вариантов для каждой буквы: А, Б, Д, К или М. Таким образом, общее количество четырехбуквенных слов без буквы Е равно: 5 * 5 * 5 * 5 = 625.

3. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинации:

- Выбор первого шара: у нас есть 10 красных и 8 синих шаров, поэтому общее количество вариантов для первого шара равно: 10 + 8 = 18.
- Выбор второго шара: после выбора первого шара у нас остается 9 красных и 7 синих шаров, поэтому общее количество вариантов для второго шара равно: 9 + 7 = 16.
- Выбор третьего шара: после выбора первых двух шаров у нас остается 8 красных и 6 синих шаров, поэтому общее количество вариантов для третьего шара равно: 8 + 6 = 14.

Теперь мы можем умножить количество вариантов для каждого шара, чтобы получить общее количество возможных комбинаций:
18 * 16 * 14 = 4032.

Таким образом, существует 4032 возможных способа выбрать три шара из урны с 10 красными и 8 синими шарами.