1) Що необхідно знайти для конуса з радіусом основи 5 см та кутом 60 градусів між твірною та площиною основи?

Щоб вирішити ці задачі, спочатку розглянемо основні формули, пов"язані зі структурою конуса.

1) Для знаходження кивітки конуса, необхідно використовувати формулу:
\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]
де \(l\) - кивітка, \(r\) - радіус основи, \(h\) - висота конуса.

2) Знаючи радіус основи \(r\) та висоту \(h\) конуса, можна обчислити твірну за допомогою формули самоподібності прямокутних трикутників:
\[t = \frac{r}{h} \cdot l\]
де \(t\) - твірна.

3) Щоб розрахувати площу осьового перерізу конуса, використаємо формулу для площі кола:
\[S_{\text{перерізу}} = \pi \cdot r^2\]

Тепер розглянемо кожну задачу окремо і застосуємо відповідні формули.

1) Маємо конус з радіусом основи \(r = 5\) см та кутом \(60^\circ\) між твірною та площиною основи. Зауважте, що твірна конуса є вихідною інформацією. Тому, щоб знайти висоту та твірну, скористаємося формулою для кивітки конуса:
\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]
\[l = \sqrt{5^2 + h^2}\]
\[l = \sqrt{25 + h^2}\]
\[l^2 = 25 + h^2\]
\[h^2 = l^2 - 25\]
\[h = \sqrt{l^2 - 25}\]
Підставивши значення \(l = t\), отримаємо:
\[h = \sqrt{t^2 - 25}\]

2) Знаючи радіус основи \(r = 5\) см та висоту \(h\) конуса, можемо обчислити твірну конуса. Використаємо формулу самоподібності прямокутних трикутників:
\[t = \frac{r}{h} \cdot l\]
\[t = \frac{5}{h} \cdot \sqrt{l^2 - 25}\]
Підставивши значення \(l = t\), отримаємо:
\[t = \frac{5}{h} \cdot \sqrt{t^2 - 25}\]

3) Для розрахунку площі осьового перерізу даного конуса, використаємо формулу для площі кола:
\[S_{\text{перерізу}} = \pi \cdot r^2\]
\[S_{\text{перерізу}} = \pi \cdot 5^2\]
Отже, площа осьового перерізу конуса дорівнює \(25\pi\) квадратних сантиметрів.

Важливо пам"ятати, що значення в радіанах і градусах є еквівалентними, тому ми можемо використовувати їх інтерчейнджабельно при розв"язанні задачі. Наприклад, \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\) радіан. Однак, у даній задачі, за умовою виражена лише в градусах, тому її значенням коректно користуватися їхніми градусами.

Весь розв"язок як для першої, так і для другої задачі базується на використанні формул кивітки конуса і формулі самоподібності прямокутних трикутників, які базуються на принципах геометрії та тригонометрії. Надіюся, що вам зручно користуватися цими формулами для розв"язання подібних задач. У разі потреби, будь ласка, зверніться за допомогою.