1. Решите треугольник, найдите его неизвестные элементы: а) Если a = 15, α = 75°, γ = 45°. б) Если а = 15, b = 23

Давайте решим каждую задачу по очереди.

а) Если дано, что сторона треугольника \(a = 15\), угол \(\alpha = 75^\circ\) и угол \(\gamma = 45^\circ\), то мы можем найти остальные неизвестные элементы треугольника.
1. Найдем второй угол треугольника \(\beta\).
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому:
\(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
Подставим известные значения:
\(75^\circ + \beta + 45^\circ = 180^\circ\).
Выразим \(\beta\):
\(\beta = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ\).

2. Найдем третий угол треугольника \(\delta\).
Сумма всех трех углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому:
\(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
Подставим значения:
\(75^\circ + 60^\circ + 45^\circ + \delta = 180^\circ\).
Выразим \(\delta\):
\(\delta = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 0^\circ\).

3. Найдем сторону треугольника \(b\).
Для этого воспользуемся теоремой синусов:
\(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\).
Подставим известные значения:
\(\frac{15}{\sin(75^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)}\).
Выразим \(b\):
\(b = \frac{15 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(75^\circ)}\).

4. Найдем сторону треугольника \(c\).
Сторону \(c\) можно найти, используя теорему синусов, так как у нас есть известные стороны и угол:
\(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\).
Подставим известные значения:
\(\frac{15}{\sin(75^\circ)} = \frac{c}{\sin(45^\circ)}\).
Выразим \(c\):
\(c = \frac{15 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(75^\circ)}\).

Таким образом, мы нашли все неизвестные элементы треугольника.

б) Если дано, что стороны треугольника \(a = 15\), \(b = 23\) и угол \(\gamma = 45^\circ\), то мы можем найти остальные неизвестные элементы треугольника.
1. Найдем третий угол треугольника \(\delta\).
Сумма всех трех углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому:
\(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
Подставим значения:
\(\alpha + \beta + 45^\circ = 180^\circ\).
Выразим \(\delta\):
\(\delta = 180^\circ - \alpha - \beta - 45^\circ\).
Здесь нам не хватает информации, чтобы найти точное значение угла \(\delta\), так как у нас нет данных о других углах.

2. Найдем сторону треугольника \(c\).
Для этого воспользуемся теоремой косинусов:
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\).
Подставим значения:
\(c^2 = 15^2 + 23^2 - 2 \cdot 15 \cdot 23 \cdot \cos(45^\circ)\).
Решим это уравнение и найдем \(c\).

в) Если дано, что стороны треугольника \(a = 5\), \(b = 18\), \(c = 19\), то можно найти значения углов треугольника.
1. Используем теорему косинусов, чтобы найти угол \(\gamma\):
\(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\).
Подставим известные значения:
\(\cos(\gamma) = \frac{5^2 + 18^2 - 19^2}{2 \cdot 5 \cdot 18}\).
Найдем значение угла \(\gamma\), используя обратный косинус:
\(\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{5^2 + 18^2 - 19^2}{2 \cdot 5 \cdot 18}\right)\).

2. Используем теорему синусов, чтобы найти угол \(\alpha\):
\(\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\gamma)}{c}\).
Подставим значения:
\(\frac{\sin(\alpha)}{5} = \frac{\sin(\gamma)}{19}\).
Выразим \(\alpha\):
\(\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{5 \cdot \sin(\gamma)}{19}\right)\).

Таким образом, мы нашли значения углов треугольника.