1. Разберитесь с этим кубом abcda1b1c1d1, у которого сумма ребер равна 4. a) Докажите, что сечение куба плоскостью

Давайте разберемся с этим кубом и решим поставленные задачи.

a) Нам нужно доказать, что сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер av, b1c1 и ad, является правильным многоугольником.

Для начала, давайте запишем координаты вершин куба. Пусть вершины куба обозначаются как A(а), B(b), C(c), D(d), а соответствующие середины ребер как A1(a1), B1(b1), C1(c1) и D1(d1).

Таким образом, координаты вершин и середин ребер будут следующими:
A(а) = (a, b, c)
B(b) = (a, b, d)
C(c) = (a, d, c)
D(d) = (a, d, d)
A1(a1) = (a, (b+d)/2, (c+d)/2)
B1(b1) = (a, (b+d)/2, (c+d)/2)
C1(c1) = (a, (b+d)/2, (c+d)/2)
D1(d1) = (a, (b+d)/2, (c+d)/2)

Вектором AB будет направленный отрезок от точки A до точки B, тогда его координаты можно найти вычитанием координат точки B из координат точки A:
AB = (a - a, b - b, d - c) = (0, 0, d - c)

Аналогично, найдем векторы BC, CD, DA, A1B1, B1C1, C1D1 и D1A1:
BC = (0, d - b, 0)
CD = (0, 0, 0)
DA = (0, 0, d - c)
A1B1 = (0, 0, d - c)
B1C1 = (0, d - b, 0)
C1D1 = (0, 0, 0)
D1A1 = (0, d - b, 0)

Теперь мы видим, что все векторы представляют собой направленные отрезки вдоль осей координат с нулевым значением по одной или двум из осей. Это означает, что все ребра сечения куба будут параллельными осям x, y и z.

Таким образом, получаем, что сечение куба плоскостью, которая проходит через середины ребер av, b1c1 и ad, будет правильным многоугольником, так как его ребра будут параллельными осям координат.

б) Теперь найдем расстояние от вершины a1 до плоскости сечения.

Расстояние от точки до плоскости определяется формулой:
d = \(\frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\),

где A, B, C и D - коэффициенты общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0, а x, y, z - координаты точки.

Мы знаем, что плоскость сечения проходит через середины ребер av, b1c1 и ad. Обозначим эту плоскость как \(\pi\).

Тогда, начнем с нахождения коэффициентов общего уравнения плоскости \(\pi\). Для этого нам потребуется выбрать три точки, лежащие на этой плоскости. Мы можем выбрать точки A1, B1 и D1:
A1(a1) = (a, (b + d)/2, (c + d)/2)
B1(b1) = (a, (b + d)/2, (c + d)/2)
D1(d1) = (a, (b + d)/2, (c + d)/2)

Теперь найдем векторы, соединяющие точки A1, B1 и D1:
V1 = AB1 = (0, 0, d - c)
V2 = AD1 = (0, (b + d)/2 - b, 0)

Найдем векторное произведение этих векторов:
N = V1 x V2

N = (0, 0, d - c) x (0, (b + d)/2 - b, 0) = (-(b + d)/2 + b, 0, 0) = (b/2 - d/2, 0, 0)

Теперь у нас есть вектор нормали N = (b/2 - d/2, 0, 0) для плоскости \(\pi\).

Коэффициенты общего уравнения плоскости могут быть найдены из вектора нормали и некоторой точки, лежащей на этой плоскости. Мы можем использовать точку A1(a1) = (a, (b + d)/2, (c + d)/2):
A(a, (b + d)/2, (c + d)/2) \(\cdot\) N = (a, (b + d)/2, (c + d)/2) \(\cdot\) (b/2 - d/2, 0, 0)
= ab/2 - ad/2 + 0 = ab/2 - ad/2

Теперь мы знаем коэффициенты общего уравнения плоскости \(\pi\): A = b/2 - d/2, B = 0, C = 0, D = ab/2 - ad/2.

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки a1 до плоскости \(\pi\):
d = \(\frac{{|Aa + B[(b + d)/2] + C[(c + d)/2] + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\)
= \(\frac{{|(b/2 - d/2)a + [(b + d)/2](b + d)/2 + [(c + d)/2](c + d)/2 + (ab/2 - ad/2)|}}{{\sqrt{{(b/2 - d/2)^2 + 0^2 + 0^2}}}}\)
= \(\frac{{|(b/2 - d/2)a + (b + d)^2/4 + (c + d)^2/4 + (ab/2 - ad/2)|}}{{\sqrt{{(b/2 - d/2)^2}}}}\)
= \(\frac{{|(b/2 - d/2)a + (b^2 + 2bd + d^2)/4 + (c^2 + 2cd + d^2)/4 + (ab/2 - ad/2)|}}{{|b/2 - d/2|}}\)

Можно заметить, что нам нужно лишь значение а, и все остальные показатели, начиная с \(b/2 - d/2\), являются постоянными. Произведем некоторые преобразования для чистоты расчетов:
d = \(\frac{{|(1/2)a(b - d) + (b^2 + 2bd + d^2 + c^2 + 2cd + d^2)/4 + (ab - ad)/2|}}{{|b/2 - d/2|}}\)
= \(\frac{{|(1/2)(b - d)(a + 2b + 2c + 3d) + (b^2 + 2bd + d^2 + c^2 + 2cd + d^2)/4|}}{{|(1/2)(b - d)|}}\)
= \(\frac{{|(2(b - d)(a + 2b + 2c + 3d) + (b^2 + 2bd + d^2 + c^2 + 2cd + d^2))/4|}}{{|(b - d)/2|}}\)
= \(\frac{{|(4(b - d)(a + 2b + 2c + 3d) + b^2 + 2bd + d^2 + c^2 + 2cd + d^2)/4|}}{{|(b - d)/2|}}\)
= \(\frac{{|(4ab - 4ad + 8b^2 - 8bd + 8bc - 8cd + 12bd - 12d^2 + b^2 + 2bd + d^2 + c^2 + 2cd + d^2)/4|}}{{|(b - d)/2|}}\)
= \(\frac{{|(4ab + 9b^2 + 6bc + c^2 - 12ad - 14bd - 10cd - 11d^2 + 2bd + 3d^2)/4|}}{{|(b - d)/2|}}\)
= \(\frac{{|(4ab + 9b^2 + 6bc + c^2 - 12ad - 12bd - 10cd - 8d^2)/4|}}{{|(b - d)/2|}}\)
= \(\frac{{|ab + 9b^2/4 + 6bc/4 + c^2/4 - 3ad - 3bd - 5cd/2 - 2d^2/1|}}{{|(b - d)/2|}}\)
= \(\frac{{|ab + (9/4)b^2 + (6/4)bc + (1/4)c^2 - 3ad - 3bd - (5/2)cd - (2/1)d^2|}}{{|(b - d)/2|}}\)

Таким образом, расстояние от вершины a1 до плоскости сечения составляет \(\frac{{|ab + (9/4)b^2 + (6/4)bc + (1/4)c^2 - 3ad - 3bd - (5/2)cd - (2/1)d^2|}}{{|(b - d)/2|}}\) Einsteina.