1) При каком основании в системе счисления число 31(в 10-ой системе) записывается как 111? Варианты ответа: 6,5,4,7

1) Чтобы понять при каком основании в системе счисления число 31 (в 10-ой системе) записывается как 111, мы можем воспользоваться методом деления нацело. Давайте посмотрим на каждый вариант ответа и проверим, подходит ли он.

a) Попробуем основание 6 - это значит, что каждая цифра может быть от 0 до 5. Если мы переведем число 111 из системы с основанием 6 в десятичную систему, получим: \(1 \times 6^0 + 1 \times 6^1 + 1 \times 6^2 = 1 + 6 + 36 = 43\). Очевидно, что 31 не равно 43, поэтому основание 6 не подходит.

b) Основание 5 - здесь каждая цифра может быть от 0 до 4. Если мы переведем число 111 из системы с основанием 5 в десятичную систему, получим: \(1 \times 5^0 + 1 \times 5^1 + 1 \times 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31\). Ответ совпадает! Таким образом, основание 5 соответствует условию задачи.

c) Основание 4 - каждая цифра может быть от 0 до 3. Если мы переведем число 111 из системы с основанием 4 в десятичную систему, получим: \(1 \times 4^0 + 1 \times 4^1 + 1 \times 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21\). Этот ответ не равен 31, поэтому основание 4 тоже не подходит.

d) Основание 7 - каждая цифра может быть от 0 до 6. Если мы переведем число 111 из системы с основанием 7 в десятичную систему, получим: \(1 \times 7^0 + 1 \times 7^1 + 1 \times 7^2 = 1 + 7 + 49 = 57\). Этот ответ также не равен 31, поэтому основание 7 не подходит.

Таким образом, основание 5 является правильным ответом на задачу.

2) Чтобы найти десятичное число, которое представлено как 2354 в системе счисления с основанием 6, мы можем воспользоваться формулой:
\[2 \times 6^3 + 3 \times 6^2 + 5 \times 6^1 + 4 \times 6^0 = 432 + 108 + 30 + 4 = 574\]

Таким образом, десятичное число, представленное как 2354 в системе с основанием 6, равно 574.

3) Посмотрим на каждое из имен и выясним, при каких условиях высказывание будет ложным.

а) Для имени ДМИТРИЙ первая буква - "Д", которая не является гласной, и последняя буква - "Й", которая является согласной. Однако, третья буква - "И", также является гласной. Таким образом, условие высказывания (Первая буква гласная & Последняя буква согласная) → ¬(Третья буква согласная) не выполняется для имени ДМИТРИЙ.

б) Для имени ЕКАТЕРИНА первая буква - "Е", является гласной, последняя буква - "А", является согласной, и третья буква - "К", также является согласной. Условие высказывания выполняется.

в) Для имени АНТОН первая буква - "А", является гласной, последняя буква - "Н", является согласной, и третья буква - "Т", также является согласной. Условие высказывания выполняется.

г) Для имени АНАТОЛИЙ первая буква - "А", является гласной, последняя буква - "Й", является согласной, и третья буква - "Н", также является согласной. Условие высказывания выполняется.

Таким образом, ложным высказыванием является "ДМИТРИЙ".

4) Давайте рассмотрим каждый вариант ответа и проверим их эквивалентность выражению \(\neg(\neg A \vee B) \& C\):

a) Выражение \((A \& B) \vee C\) - это логическое ИЛИ между двумя выражениями, а затем логическое И с третьим выражением. Оно эквивалентно исходному выражению.

b) Выражение \((A \& \neg B) \vee C\) - здесь мы имеем отрицание второго выражения, которое затем объединяется с первым выражением через логическое ИЛИ, а затем логическое И с третьим выражением. Это выражение не эквивалентно исходному.

c) Выражение \(A \& \neg B \& C\) - здесь мы имеем логическое И между всеми тремя выражениями. Это выражение не эквивалентно исходному.

d) Выражение \(\neg A\) - это просто отрицание первого выражения. Оно не эквивалентно исходному выражению.

Таким образом, единственным эквивалентным выражением исходному \(\neg(\neg A \vee B) \& C\) является выражение \((A \& B) \vee C\).