№1 При изотермическом расширении 20 граммов водорода его объем увеличился вдвое. Начальная температура газа составляла

Для решения задачи о работе газа при изотермическом расширении воспользуемся уравнением Клапейрона. Начнем с определения начального и конечного объемов газа. Поскольку объем увеличился вдвое, конечный объем будет равен удвоенному начальному объему, то есть \(V_2 = 2V_1\).

Далее, воспользуемся уравнением Клапейрона для идеального газа:

\[PV = nRT\]

где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная и \(T\) - температура в абсолютных единицах (в нашем случае, в Кельвинах).

Из условия изотермического процесса следует, что температура газа остается постоянной, то есть \(T = const\).

Рассмотрим начальное состояние газа (\(1\)) и конечное состояние (\(2\)):

Для начального состояния:

\[P_1V_1 = nRT_1 \quad \text{(1)}\]

Для конечного состояния:

\[P_2V_2 = nRT_2 \quad \text{(2)}\]

Поскольку изотермическое расширение, то \(T_1 = T_2\) и \(T = const\), а значит \(RT_1 = RT_2\).

Подставив \(RT_1\) в уравнения (1) и (2), получим:

\[P_1V_1 = nRT_1 = nRT_2 = P_2V_2 \quad \text{(3)}\]

Теперь выразим количество вещества \(n\) через массу газа. Для этого воспользуемся молярной массой газа:

\[n = \frac{m}{M}\]

где \(m\) - масса газа, \(M\) - молярная масса газа.

В нашей задаче говорится, что масса газа равна 20 граммам, поэтому \(m = 20\) г, а молярная масса водорода \(M = 2\) г/моль.

Подставим эти значения в уравнение (3):

\[P_1V_1 = \frac{m_1}{M}RT = \frac{20}{2} \cdot RT \quad \text{(4)}\]

\[P_2V_2 = \frac{m_2}{M}RT = \frac{20}{2} \cdot RT \quad \text{(5)}\]

Разделим уравнение (5) на уравнение (4):

\[\frac{P_2V_2}{P_1V_1} = \frac{20}{2} \cdot RT \div \frac{20}{2} \cdot RT\]

После сокращения:

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2} \quad \text{(6)}\]

Из уравнения (6) следует, что отношение давлений \(P_2\) и \(P_1\) равно отношению объемов \(V_1\) и \(V_2\) и равно \(\frac{1}{2}\).

Теперь перейдем к работе газа. Работа газа при изотермическом расширении можно вычислить по формуле:

\[W = -\Delta U = -P\Delta V\]

где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа, \(\Delta V\) - изменение объема газа.

В нашей задаче начальный объем равен \(V_1\), а конечный объем равен \(V_2\). Также мы знаем, что давление газа равно \(P_1\) и \(P_2\).

Подставляем значения в формулу работа газа:

\[W = -P_1\Delta V = -P_1(V_2 - V_1)\]

Так как \(V_2 = 2V_1\):

\[W = -P_1(2V_1 - V_1) = -P_1V_1\]

Оставим \(P_1\) без изменений:

\[W = -P_1V_1 \quad \text{(7)}\]

Теперь мы можем провести вычисления. Найдем значение работы газа.

Для начального состояния газа у нас есть начальная температура \(T_1 = 300\) К. Работу газа можно выразить через \(P_1V_1\):

\[W = -P_1V_1 = -nRT_1\]

Подставляем известные значения:

\[W = -\frac{m}{M}RT_1 = -\frac{20}{2} \cdot 8.31 \cdot 300 \quad \text{(8)}\]

Теперь нужно найти изменение внутренней энергии газа (\(\Delta U\)). В изотермическом процессе изменение внутренней энергии равно нулю, так как температура остается постоянной. Поэтому:

\[\Delta U = 0\]

Количество теплоты (\(Q\)) в изотермическом процессе равно работе газа:

\[Q = -W\]

Подставляем значение работы из уравнения (8):

\[Q = -\left(-\frac{20}{2} \cdot 8.31 \cdot 300\right) = \frac{20}{2} \cdot 8.31 \cdot 300\]

Проведя вычисления, получаем значение количества теплоты.

\[Q = \frac{20}{2} \cdot 8.31 \cdot 300 \approx 24,930 \, \text{Дж}\]