1. Предоставьте периметр треугольника, у которого площадь равна 6√3 см², и один из углов составляет 60°. Соотношение

Задача 1:
Дано, что площадь треугольника равна \(6\sqrt{3}\) см², а один из углов равен 60°.
Также известно, что соотношение сторон, прилегающих к данному углу, равно 3:8.
Чтобы найти периметр треугольника, нам необходимо найти длины всех его сторон.

Пусть сторона прилегающая к углу 60° равна 3x, а сторона, противоположная данному углу (противоположная гипотенузе в прямоугольном треугольнике), равна 8x.

Для нахождения площади треугольника используем формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(C\) - угол между ними. В нашем случае площадь уже известна и равна \(6\sqrt{3}\) см².

Подставляя значения в формулу, получим:
\(6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot 8x \cdot \sin 60°\)

Упрощаем выражение:
\(6\sqrt{3} = 12x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Отсюда следует, что:
\(6 = 12x^2\)

Решаем данное уравнение:
\(x^2 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)

Из этого следует, что \(x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Теперь найдем длины сторон треугольника:
сторона прилегающая к углу 60°: \(3x = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
сторона, противоположная углу 60°: \(8x = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\)

Таким образом, периметр треугольника можно найти, сложив длины всех трех его сторон:
Периметр = \(3x + 4\sqrt{2} + 8x\)

Подставляя значения, получим:
Периметр = \(\frac{3\sqrt{2}}{2} + 4\sqrt{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + 8\sqrt{2}\)

Упрощая выражение, получаем окончательный ответ:
Периметр треугольника равен \(\frac{3\sqrt{2}}{2} + 8\sqrt{2}\) см.

Задача 2:
Дано, что длина отрезка ab равна 30 м, а углы a и ß равны 60° и 45° соответственно.
Нам необходимо найти расстояние d между пунктами a и c на местности.

Для решения данной задачи, воспользуемся тригонометрическими функциями.

Рассмотрим треугольник abc, где угол abc равен 90°.
Мы знаем, что угол a равен 60°, а угол ß равен 45°.

Пусть длина отрезка ac равна d. Тогда, используя тригонометрию, можем найти значения сторон треугольника abc.

Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника: abc и acd.
В прямоугольном треугольнике abc гипотенуза ab равна 30 м, угол a равен 60°, и катет ac = d.
В прямоугольном треугольнике acd угол α равен 45°, катет ac = d, и искомая гипотенуза ad.

Теперь, найдем значения сторон треугольника abc, используя тригонометрические функции.
Согласно теореме Пифагора, \(ab^2 = ac^2 + bc^2\). В нашем случае, это будет \(30^2 = d^2 + bc^2\).

Также, мы знаем, что \(bc = ac \cdot \tan a\), где a - угол abc, ac - катет, находящийся против угла abc, найденный ранее.

Подставляя значения в уравнение, получим:
\(30^2 = d^2 + (d \cdot \tan 60°)^2\)

Упрощая, получим:
\(900 = d^2 + d^2 \cdot (\sqrt{3})^2\)

Раскрывая скобки:
\(900 = d^2 + 3d^2\)

Складывая слагаемые:
\(900 = 4d^2\)

Поделим обе части уравнения на 4:
\(225 = d^2\)

Найдем квадратный корень от обеих частей:
\(d = \sqrt{225} = 15\)

Таким образом, расстояние между пунктами a и c на местности равно 15 м.