1. Построить равнобедренный треугольник MNK с длиной сторон MN = NK = 5 см и MK = 4 см. Середины сторон MN

Для построения равнобедренного треугольника MNK с длиной сторон MN = NK = 5 см и MK = 4 см, расположим отрезки MN и NK на координатной прямой таким образом, чтобы точка M была левее точки N. Затем проведем прямую, проходящую через точку M и делающую с отрезками MN и NK углы по 45 градусов.

1) Для определения длин векторов MA, KM и AB, нам понадобятся координаты точек M, N, K, A и B. Пусть точка M имеет координаты (x1, y1), точка N - (x2, y2), точка K - (x3, y3), точка A - (x4, y4) и точка B - (x5, y5).

- Длина вектора MA:

\[MA = \sqrt{(x4 - x1)^2 + (y4 - y1)^2}\]

- Длина вектора KM:

\[KM = \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2}\]

- Длина вектора AB:

\[AB = \sqrt{(x5 - x4)^2 + (y5 - y4)^2}\]

2) Чтобы найти вектор, равный вектору АN и KB, мы можем использовать следующее свойство векторов: если векторы \(\vec{v1} = (x1, y1)\) и \(\vec{v2} = (x2, y2)\) равны, то их сумма равна нулевому вектору \(\vec{0}\). Таким образом, для вектора АN и KB, мы можем записать:

\(\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}\)

\(\vec{KB} = \vec{KN} + \vec{NB}\)

3) Чтобы сравнить векторы MN и KN, а также MB и ВК, мы можем использовать тот факт, что два вектора равны, если их координаты равны. То есть, чтобы сравнить векторы MN и KN, а также MB и ВК, мы должны сравнить соответствующие координаты этих векторов.

4) Чтобы найти вектор, противоположный МА и ВМ, мы можем использовать тот факт, что вектор, противоположный данному вектору \(\vec{v}\), имеет противоположные знаки для каждой из его координат. То есть, вектор, противоположный вектору МА, можно записать как \(-\vec{MA} = (-x_{MA}, -y_{MA})\), а вектор, противоположный вектору ВМ, можно записать как \(-\vec{BM} = (-x_{BM}, -y_{BM})\).

5) Чтобы найти вектор, параллельный АN и NK, мы можем использовать координаты этих векторов. Если вектор \(\vec{v}\) имеет координаты \((x, y)\), то вектор, параллельный \(\vec{v}\), можно записать как \(\vec{v_{\parallel}} = k \cdot \vec{v}\), где \(k\) - произвольное число, т.е. можно выбрать любое \(k\) и получить параллельный вектор.

6) Чтобы найти вектор, противоположный АВ и NM, мы можем использовать тот факт, что вектор, противоположный данному вектору \(\vec{v}\), имеет противоположные знаки для каждой из его координат. Таким образом, вектор, противоположный вектору АB, можно записать как \(-\vec{AB} = (-x_{AB}, -y_{AB})\), а вектор, противоположный вектору NM, можно записать как \(-\vec{NM} = (-x_{NM}, -y_{NM})\).

7) Чтобы определить вектор, коллинеарный вектору AB, мы можем использовать свойство коллинеарности векторов, которое означает, что два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Таким образом, чтобы найти вектор, коллинеарный вектору AB, мы можем умножить вектор AB на произвольное число \(k\) и получить коллинеарный вектор.

Очень важно отметить, что все эти ответы и объяснения строятся на основе геометрических и алгебраических понятий. Было бы много легче и эффективнее визуализировать и расчеты, используя графический инструмент или программное обеспечение для работы с векторами.