1. Подтвердите, что плоскость α параллельна прямой AC в правильной четырехугольной пирамиде PABCD, где через вершину

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать геометрические свойства пирамиды, плоскостей и пересекающихся прямых.

1. Мы должны подтвердить, что плоскость α параллельна прямой AC в пирамиде PABCD. Для этого нам нужно показать, что прямая AC лежит в плоскости α.

Первым шагом будем искать точку пересечения прямой AC и плоскости α. Мы знаем, что плоскость α проходит через вершину B и перпендикулярна прямой PD. Значит, она должна также пересекать боковое ребро PC в некоторой точке M.

Теперь давайте найдем координаты точек P, C и M, чтобы проверить, лежит ли точка С в плоскости α.

2. Продолжим с решением второй задачи. Нам нужно найти угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды PABCD.

Для этого мы можем воспользоваться свойством, которое гласит, что угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Так как мы знаем уравнения этих плоскостей и можем выразить их нормали, то сможем найти искомый угол.

Приведу чертеж для наглядности:

       P

      /|\

     / | \

    /  |  \

   /   |   \

  A----B----C

   \   |   /

    \  |  /

     \ | /

      \|/

       D

Теперь продолжим с подробным решением каждой из задач.

1. Пусть P(xp, yp, zp), C(xc, yc, zc), M(xm, ym, zm) - координаты точек P, C и M соответственно.

Мы знаем, что прямая AC проходит через точки A(xa, ya, za) и C(xc, yc, zc).

Уравнение прямой AC можно представить параметрически:

x = xa + t * (xc - xa)
y = ya + t * (yc - ya)
z = za + t * (zc - za)

Теперь найдем координаты точки M.
Мы знаем, что плоскость α пересекает боковое ребро PC в точке M. Из условия задачи, плоскость α перпендикулярна прямой PD, значит, у неё нормаль будет направлена также перпендикулярно этой прямой. То есть, нормаль плоскости α будет сонаправлена с вектором PD.

Вектор PD:
PD = D - P = (xd - xp, yd - yp, zd - zp)

Вектор перпендикуляра к плоскости α:
n = PD = (xd - xp, yd - yp, zd - zp)

Так как мы знаем, что плоскость α проходит через точку B(xb, yb, zb), мы можем записать уравнение плоскости α:

n * (r - B) = 0

где n - нормаль плоскости α, r - точка на плоскости α

Теперь подставим точку M(xm, ym, zm) в уравнение и решим его:

n * (M - B) = 0

(xd - xp, yd - yp, zd - zp) * (xm - xb, ym - yb, zm - zb) = 0

(xd - xp)(xm - xb) + (yd - yp)(ym - yb) + (zd - zp)(zm - zb) = 0

Таким образом, мы получили уравнение, которое должно быть выполнено для точки M.

Если это уравнение выполняется, то прямая AC лежит в плоскости α, что подтверждает параллельность этих объектов.

2. Теперь перейдем ко второй задаче. Найдем угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды PABCD.

Для начала запишем уравнения плоскостей.

Уравнение плоскости α:
n * (r - B) = 0

Уравнение плоскости основания:
Ax + By + Cz + D = 0
где A, B, C - компоненты нормали к плоскости основания, D - свободный член.

Угол между плоскостями можно вычислить следующим образом:
cos(угол) = |n1 * n2| / (|n1| * |n2|)

где n1 и n2 - нормали плоскостей α и плоскости основания соответственно.

Теперь найдем нормали для каждой плоскости и посчитаем угол.

Нормальное уравнение плоскости α:
n * (r - B) = 0

Подставим известные координаты вершины B(xb, yb, zb):
n * (r - (xb, yb, zb)) = 0

n * (x - xb, y - yb, z - zb) = 0

(n1x, n1y, n1z) * (x - xb, y - yb, z - zb) = 0

n1x * (x - xb) + n1y * (y - yb) + n1z * (z - zb) = 0

Полученные коэффициенты (n1x, n1y, n1z) - компоненты нормали плоскости α.

Теперь запишем нормальное уравнение плоскости основания:

Ax + By + Cz + D = 0

Для нахождения нормали (A, B, C) запишем уравнение прямой AB:

x = xa + t * (xb - xa)
y = ya + t * (yb - ya)
z = za + t * (zb - za)

Координаты двух точек, лежащих на прямой AB, это A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb). Тогда вектор, составленный из разности этих точек, будет сонаправлен с вектором прямой AB.

Вектор AB:
AB = B - A = (xb - xa, yb - ya, zb - za)

Таким образом, мы получили нормаль (A, B, C) плоскости основания.

Теперь найденные нормали n1 и (A, B, C) подставим в формулу для нахождения угла:
cos(угол) = |n1 * (A, B, C)| / (|n1| * |(A, B, C)|)

Таким образом, получаем значение угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды PABCD.

Я надеюсь, что подробное решение и чертеж помогут вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы - не стесняйтесь задавать, я всегда готов помочь вам в обучении!