1) Подтвердите, что одно из пересечений диагоналей параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, а другое

1) Для начала, давайте рассмотрим параллелепипед. Параллелепипед - это трехмерная геометрическая фигура, состоящая из шести прямоугольных граней. У него также есть 12 ребер и 8 вершин. Диагонали параллелепипеда - это отрезки, соединяющие противоположные вершины этой фигуры.

Чтобы подтвердить, что одно из пересечений диагоналей параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, воспользуемся свойством прямоугольных параллелепипедов. Для этого нам необходимо показать, что диагональ под прямым углом к одной из граней является прямоугольником.

Рассмотрим параллелепипед с одной из его граней в плоскости основания. Пусть это будет прямоугольник ABCD. Проведем диагонали AC и BD.

Для того чтобы доказать, что одно из пересечений диагоналей параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, нам нужно показать, что диагональ AC перпендикулярна плоскости ABCD.

Предположим, что ABCD - параллелограмм. В этом случае, диагональ AC разделит параллелограмм на два равных треугольника (по общей стороне и общему углу между диагоналями).

Так как диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника, у них будут равны основания и высоты. Значит, основание треугольника ABC будет равно основанию треугольника ACD, и высота треугольника ABC будет равна высоте треугольника ACD.

Поскольку высота треугольника ABC равна высоте треугольника ACD, а сторона AB перпендикулярна основанию треугольника ABC, то это означает, что плоскость ABCD является прямоугольной плоскостью.

Таким образом, мы подтверждаем, что одно из пересечений диагоналей параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, а другое является прямоугольником.

2) Чтобы создать проекцию верхнего основания на нижнее, нужно представить параллелепипед в виде двухмерной фигуры, которая будет отображать его форму и размеры на плоскости.

Для этого мы укажем, что верхнее основание параллелепипеда - это прямоугольник ABCD. Предположим, что нижнее основание - это прямоугольник A"B"C"D".

Проекция верхнего основания на нижнее состоит в том, чтобы соединить соответствующие вершины прямоугольников ABCD и A"B"C"D" прямыми линиями.

Таким образом, проекция верхнего основания на нижнее будет прямоугольник A""B""C""D"".

3) Теперь давайте рассмотрим возможность соединения одной из вершин параллелепипеда с тремя соседними вершинами так, чтобы получился правильный тетраэдр.

Предположим, что основание параллелепипеда - это прямоугольник ABCD, а высота параллелепипеда - это отрезок EF, перпендикулярный плоскости основания. Тогда высота будет перпендикулярна всем прямым углам, образованным соединением вершины параллелепипеда с тремя соседними вершинами.

Если острые углы ромба, образованного треугольниками ABF и BCF, равны 60°, то это означает, что у треугольников ABF и BCF равные стороны и одинаковая длина BF.

Так как высота параллелепипеда EF перпендикулярна плоскости ABCD и она соединяет вершину параллелепипеда с двумя вершинами основания, то это означает, что FE является высотой треугольников ABF и BCF.

Таким образом, высота параллелепипеда выражается через сторону параллелепипеда и равна стороне деленной на корень из трехмильного числа: \[EF = \frac{AB}{\sqrt{3}}\]. Это и есть высота параллелепипеда, выраженная через его сторону.