1. Под каким углом к горизонту нужно прицелиться из пружинного пистолета, расположенного на расстоянии l от яблока

Задача 1. Чтобы определить угол, под которым нужно прицелиться из пружинного пистолета, чтобы попасть в яблоко, будем использовать законы движения по горизонтальной и вертикальной составляющим.

Пускай угол, под которым нам нужно прицелиться, будет $\theta$. Тогда горизонтальная составляющая начальной скорости пули будет $v_{0x}=v_0\cdot \cos (\theta )$, где $v_0$ - начальная скорость пули.

Вертикальная составляющая начальной скорости пули будет $v_{0y}=v_0\cdot \sin (\theta )$.

Яблоко свободно падает, поэтому время полета пули будет равно времени падения яблока. Мы можем выразить время падения яблока при помощи формулы свободного падения $h=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$, где $h$ - высота, с которой падает яблоко, $g$ - ускорение свободного падения, $t$ - время падения.

Тогда $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.

Горизонтальная составляющая пути яблока будет $l=v_{0x}\cdot t$.

Подставим значения и выразим угол $\theta$:
$$l=v_0\cdot \cos (\theta )\cdot t$$
$$\cos (\theta )=\frac{l}{v_0\cdot t}$$
$$\theta =\arccos \left(\frac{l}{v_0\cdot t}\right)$$

Таким образом, угол прицеливания будет равен $\theta =\arccos \left(\frac{l}{v_0\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}}\right)$.

Задача 2. Чтобы определить начальную скорость пули $v_0$, при которой она попадет в яблоко перед тем, как оно упадет на землю, мы можем использовать ту же идею, что и в предыдущей задаче.

Так как пуля и яблоко должны встретиться в одной точке, то горизонтальный расстояние, пройденное пулей за время падения яблока, должно быть равно расстоянию до яблока:
$$l=v_{0x}\cdot t$$

Расставим значения:
$$l=v_0\cdot \cos (\theta )\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Задача 3. Чтобы найти угол и начальную скорость пули, при которых она попадает в яблоко до его падения на землю, нужно решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений, полученных из задачи 1 и задачи 2:

$$\begin{array}{rl}\theta & =\arccos \left(\frac{l}{v_0\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}}\right)\\ l& =v_0\cdot \cos (\theta )\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}\end{array}$$

Решение этой системы уравнений требует математических методов, таких как метод подстановки или метод избавления от переменных. Результат решения даст значения угла и начальной скорости пули, удовлетворяющие условию попадания в яблоко до его падения на землю.