1. Перепишите вектор ab - 3bc + 4cd через линейную комбинацию. 2. Определите длины векторов ab, bc и cd. 3. Найдите

Хорошо, давайте по порядку решим каждую задачу.

1. Перепишем вектор ab - 3bc + 4cd в виде линейной комбинации:
$ab-3bc+4cd=a\ast b+(-3b)\ast c+4c\ast d$.

2. Чтобы найти длины векторов ab, bc и cd, мы можем использовать формулу для длины вектора:

Длина вектора $\overrightarrow{v}=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$, где $v_x,v_y,v_z$ - компоненты вектора v по осям x, y, z соответственно.

Подставим значения координат векторов ab, bc и cd и вычислим их длины:

Для вектора ab:

$ab=\left[\begin{array}{c}{b}_x-a_x\\ b_y-a_y\\ b_z-a_z\end{array}\right]$.

Для вектора bc:

$bc=\left[\begin{array}{c}{c}_x-b_x\\ c_y-b_y\\ c_z-b_z\end{array}\right]$.

Для вектора cd:

$cd=\left[\begin{array}{c}{d}_x-c_x\\ d_y-c_y\\ d_z-c_z\end{array}\right]$.

Теперь можем вычислить длины каждого из векторов:

Длина вектора ab: $|ab|=\sqrt{(b_x-a_x{)}^2+(b_y-a_y{)}^2+(b_z-a_z{)}^2}$.

Длина вектора bc: $|bc|=\sqrt{(c_x-b_x{)}^2+(c_y-b_y{)}^2+(c_z-b_z{)}^2}$.

Длина вектора cd: $|cd|=\sqrt{(d_x-c_x{)}^2+(d_y-c_y{)}^2+(d_z-c_z{)}^2}$.

3. Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы можем воспользоваться формулой:

$cos(\theta )=\frac{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}|\cdot |\overrightarrow{v_2}|}$,

где $\overrightarrow{v_1}$ и $\overrightarrow{v_2}$ - векторы, $\cdot$ - операция скалярного произведения векторов.

Косинус угла между векторами ab и bc: $cos({\theta }_{ab,bc})=\frac{ab\cdot bc}{|ab|\cdot |bc|}$.

Косинус угла между векторами bc и cd: $cos({\theta }_{bc,cd})=\frac{bc\cdot cd}{|bc|\cdot |cd|}$.

Значения cos(${\theta }_{ab,bc}$) и cos(${\theta }_{bc,cd}$) могут быть найдены после подстановки значений векторов и их длин.

4. Для вычисления значения выражения $(ab+cd)\cdot ad$, мы сначала должны сложить векторы ab и cd, а затем вычислить скалярное произведение результата с вектором ad:

$ab+cd=\left[\begin{array}{c}(b_x-a_x)+(d_x-c_x)\\ (b_y-a_y)+(d_y-c_y)\\ (b_z-a_z)+(d_z-c_z)\end{array}\right]$.

И затем найдём скалярное произведение $(ab+cd)\cdot ad$:

$(ab+cd)\cdot ad=((b_x-a_x)+(d_x-c_x))\ast a{d}_x+((b_y-a_y)+(d_y-c_y))\ast a{d}_y+((b_z-a_z)+(d_z-c_z))\ast a{d}_z$.

5. Чтобы проверить, являются ли векторы ab и cd коллинеарными, мы можем сравнить их компоненты. Если соответствующие компоненты сравниваемых векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

То есть, если $\frac{b_x-a_x}{d_x-c_x}=\frac{b_y-a_y}{d_y-c_y}=\frac{b_z-a_z}{d_z-c_z}$, то векторы ab и cd коллинеарны.

6. Чтобы проверить, являются ли векторы ab и cd ортогональными, мы можем вычислить их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы ортогональны:

$ab\cdot cd=(b_x-a_x)\ast (d_x-c_x)+(b_y-a_y)\ast (d_y-c_y)+(b_z-a_z)\ast (d_z-c_z)$.

Теперь у нас есть ответы на все задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.