1. Перепишите вектор ab - 3bc + 4cd через линейную комбинацию. 2. Определите длины векторов ab, bc и cd. 3. Найдите

Хорошо, давайте по порядку решим каждую задачу.

1. Перепишем вектор ab - 3bc + 4cd в виде линейной комбинации:
\( ab - 3bc + 4cd = a * b + (-3b) * c + 4c * d\).

2. Чтобы найти длины векторов ab, bc и cd, мы можем использовать формулу для длины вектора:

Длина вектора \( \vec{v} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\), где \(v_x, v_y, v_z\) - компоненты вектора v по осям x, y, z соответственно.

Подставим значения координат векторов ab, bc и cd и вычислим их длины:

Для вектора ab:

\( ab = \begin{bmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \\ b_z - a_z \end{bmatrix}\).

Для вектора bc:

\( bc = \begin{bmatrix} c_x - b_x \\ c_y - b_y \\ c_z - b_z \end{bmatrix}\).

Для вектора cd:

\( cd = \begin{bmatrix} d_x - c_x \\ d_y - c_y \\ d_z - c_z \end{bmatrix}\).

Теперь можем вычислить длины каждого из векторов:

Длина вектора ab: \(|ab| = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2}\).

Длина вектора bc: \(|bc| = \sqrt{(c_x - b_x)^2 + (c_y - b_y)^2 + (c_z - b_z)^2}\).

Длина вектора cd: \(|cd| = \sqrt{(d_x - c_x)^2 + (d_y - c_y)^2 + (d_z - c_z)^2}\).

3. Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы можем воспользоваться формулой:

\(cos(\theta) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\),

где \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) - векторы, \(\cdot\) - операция скалярного произведения векторов.

Косинус угла между векторами ab и bc: \(cos(\theta_{ab,bc}) = \frac{ab \cdot bc}{|ab| \cdot |bc|}\).

Косинус угла между векторами bc и cd: \(cos(\theta_{bc,cd}) = \frac{bc \cdot cd}{|bc| \cdot |cd|}\).

Значения cos(\(\theta_{ab,bc}\)) и cos(\(\theta_{bc,cd}\)) могут быть найдены после подстановки значений векторов и их длин.

4. Для вычисления значения выражения \((ab + cd) \cdot ad\), мы сначала должны сложить векторы ab и cd, а затем вычислить скалярное произведение результата с вектором ad:

\(ab + cd = \begin{bmatrix} (b_x - a_x) + (d_x - c_x) \\ (b_y - a_y) + (d_y - c_y) \\ (b_z - a_z) + (d_z - c_z) \end{bmatrix}\).

И затем найдём скалярное произведение \((ab + cd) \cdot ad\):

\((ab + cd) \cdot ad = ((b_x - a_x) + (d_x - c_x)) * ad_x + ((b_y - a_y) + (d_y - c_y)) * ad_y + ((b_z - a_z) + (d_z - c_z)) * ad_z\).

5. Чтобы проверить, являются ли векторы ab и cd коллинеарными, мы можем сравнить их компоненты. Если соответствующие компоненты сравниваемых векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

То есть, если \(\frac{b_x - a_x}{d_x - c_x} = \frac{b_y - a_y}{d_y - c_y} = \frac{b_z - a_z}{d_z - c_z}\), то векторы ab и cd коллинеарны.

6. Чтобы проверить, являются ли векторы ab и cd ортогональными, мы можем вычислить их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы ортогональны:

\(ab \cdot cd = (b_x - a_x) * (d_x - c_x) + (b_y - a_y) * (d_y - c_y) + (b_z - a_z) * (d_z - c_z)\).

Теперь у нас есть ответы на все задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.