1. Перепишите неравенство 2 sin x > √3. 2. Найдите количество целых решений неравенства 5 sin x - 2sin²x≥0 на интервале

1. Перепишем данное неравенство:
\[2\sin x > \sqrt{3}\]

2. Чтобы найти количество целых решений неравенства, мы будем исследовать значение неравенства на каждом интервале от \(1\) до \(7\). Перепишем данное неравенство:
\[5\sin x - 2\sin^2 x \geq 0\]

Давайте разобьем интервал от \(1\) до \(7\) на несколько меньших интервалов, чтобы проанализировать поведение неравенства на каждом из них.

На интервале \((1, 2)\):
Для значений между \(1\) и \(2\) неравенство принимает форму:
\[5\sin x - 2\sin^2 x \geq 0\]
Решая это неравенство, получаем:
\[x \in (\frac{\pi}{6}, \pi)\]

На интервале \((2, 3)\):
Для значений между \(2\) и \(3\) неравенство имеет вид:
\[5\sin x - 2\sin^2 x \geq 0\]
Решая его, получаем:
\[x \in (2, \frac{5\pi}{6}) \cup (\pi, \frac{7\pi}{6})\]

На интервале \((3, 7)\):
Для значений между \(3\) и \(7\) неравенство принимает форму:
\[5\sin x - 2\sin^2 x \geq 0\]
Решая его, получаем:
\[x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi) \cup (\frac{7\pi}{6}, 2\pi)\]

Итак, общее количество целых решений неравенства на интервале от \(1\) до \(7\) равно сумме количества решений на каждом из полученных интервалов.

3. Для нахождения значения выражения \[3\tan^2 x_0 - 1\] сначала нам нужно найти наименьший положительный корень уравнения:
\[2\cos^2 x + 5\sin x - 4 = 0\]

4. Решим данное уравнение \((\sin x+\cos x)^2=1+\cos x\).

Давайте раскроем квадрат на левой стороне:
\[\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \cos x\]

Заметим, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), заменим это:
\[1 + 2\sin x\cos x = 1 + \cos x\]

Вычтем \(1 + \cos x\) из обеих частей уравнения:
\[2\sin x\cos x - \cos x = 0\]

Факторизуем \(\cos x\):
\[\cos x(2\sin x - 1) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1) \(\cos x = 0\)
Решая данное уравнение, получаем \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi, где k - целое число\)

2) \(2\sin x - 1 = 0\)
Решая данное уравнение, получаем \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, где k - целое число\)

Ответ на данное уравнение будет состоять из всех корней, полученных в этих двух случаях. Ответ выразите в градусах и укажите величину наименьшего по модулю корня уравнения.