1. Определите значения основания и высоты равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 45°, а основание

1. Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника. В данном случае, у нас есть треугольник, у которого угол при основании равен 45°, а основание превышает высоту на 9 см.

Нам известно, что в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании является высотой и медианой одновременно. Давайте обозначим основание треугольника как \(a\) и высоту как \(h\).

Так как основание превышает высоту на 9 см, мы можем записать уравнение: \(a = h + 9\).

Также известно, что угол при основании составляет 45°. В равнобедренном треугольнике это означает, что другие два угла, прилегающие к основанию, также равны 45°.

Теперь мы можем применить тригонометрию, чтобы найти значения \(a\) и \(h\).

Для этого воспользуемся тангенсом угла при основании: \(\tan(45°) = \frac{{h}}{{\frac{{a}}{2}}}\).
Подставим значение \(a = h + 9\): \(\tan(45°) = \frac{{h}}{{\frac{{h + 9}}{2}}}\).

Теперь решим получившееся уравнение:
\(\frac{{h}}{{\frac{{h + 9}}{2}}} = 1\).

Домножим обе части уравнения на \(\frac{{h + 9}}{2}\):
\(h = h + 9\).

Отсюда получаем, что \(h = 9\).

Теперь мы можем найти значение \(a\), подставив \(h = 9\) в уравнение \(a = h + 9\):
\(a = 9 + 9 = 18\).

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а высота равна 9 см.

2. Решим эту задачу, используя свойства прямоугольного треугольника. Нам известно, что один из острых углов вдвое больше другого, а разница между наибольшей и наименьшей сторонами составляет 49 см.

Пусть наименьшая сторона равна \(x\) см. Тогда наибольшая сторона будет равна \(2x\) см, так как острые углы в прямоугольном треугольнике составляют сумму 90°.

Теперь мы можем записать уравнение на разницу между наибольшей и наименьшей сторонами:
\(2x - x = 49\).

Решим получившееся уравнение:
\(x = 49\).

Таким образом, наименьшая сторона треугольника равна 49 см, а наибольшая сторона равна \(2x = 2 \cdot 49 = 98\) см.

3. Чтобы решить эту задачу, воспользуемся пропорцией между углами и сторонами треугольника. Нам известно, что углы треугольника относятся как 1:2:3, а сумма большей и меньшей сторон составляет 7,2 см.

Пусть наименьшая сторона треугольника равна \(x\) см. Тогда мы можем записать уравнение на большую сторону треугольника:
\(x + 3x = 7.2\).

Решим получившееся уравнение:
\(4x = 7.2\),
\(x = 1.8\).

Таким образом, наименьшая сторона треугольника равна 1.8 см. Мы можем найти большую сторону, сложив \(x\) и \(3x\):
\(1.8 + 3 \cdot 1.8 = 1.8 + 5.4 = 7.2\) см.

Таким образом, большая сторона треугольника равна 7.2 см.

4. Для определения длины медианы, проведенной в равнобедренном треугольнике с углом при вершине равным 120°, нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника.

Сначала определим значение угла при основании. Так как угол при вершине равен 120°, а сумма углов треугольника равна 180°, то два других угла равны \((180 - 120)/2 = 30°\).

Теперь мы можем воспользоваться свойством биссектрисы. Биссектриса угла при вершине равна медиане и высоте одновременно. Поскольку у нас равнобедренный треугольник, медиана будет делить его на два равных угла.

Предположим, что основание равнобедренного треугольника равно \(a\), а медиана делит его на две части \(b\) и \(c\).

Теперь мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти длину медианы. Для этого нам понадобятся значения сторон треугольника.

Зная, что у нас равнобедренный треугольник, и имея угол при основании равный 30°, мы можем записать уравнение:
\(\cos(30°) = \frac{{a/2}}{{m}}\),
где \(m\) - медиана треугольника.

Нам известно, что \(\cos(30°) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\). Теперь мы можем решить получившееся уравнение:
\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{a/2}}{{m}}\).

Упростим уравнение:
\(\sqrt{3} = \frac{{a}}{{2m}}\).

Домножим обе части уравнения на 2m:
\(2m\sqrt{3} = a\).

Теперь мы можем найти длину медианы, подставив значение \(a\) в уравнение:
\(m = \frac{{a}}{2}\),
\(m = \frac{{2m\sqrt{3}}}{2}\).

Упростим уравнение:
\(m = \sqrt{3}m\).

Теперь нам нужно решить получившееся уравнение:
\(m - \sqrt{3}m = 0\),
\((1 - \sqrt{3})m = 0\).

Отсюда получаем, что \(m = 0\) или \(\sqrt{3}m = m\).

Так как медиана не может быть нулевой, получаем \(m = \sqrt{3}m\).

Таким образом, медиана равнобедренного треугольника равна \(\sqrt{3}\).