1) Определите радиус основания и высоту цилиндра, который окружает правильную треугольную призму с ребром длиной

Для решения этой задачи, давайте начнем с определения понятия правильной треугольной призмы. Правильная треугольная призма - это призма, у которой основание является правильным треугольником, а боковые стороны являются равными равнобедренными треугольниками.

1) Определение радиуса основания цилиндра:
Чтобы окружить правильную треугольную призму, цилиндр должен иметь основание, равное основанию призмы. В нашем случае, основание треугольной призмы - правильный треугольник.

Радиус основания цилиндра будет равен радиусу вписанной окружности правильного треугольника. Для определения радиуса вписанной окружности правильного треугольника, нам понадобится знать длину его стороны.

Правильный треугольник имеет все стороны одинаковой длины, поэтому достаточно определить длину одной из сторон. В условии задачи говорится, что ребро призмы имеет длину 1 см.

Длина стороны равностороннего треугольника определяется формулой: \[a = \frac{{s}}{\sqrt{3}}\], где \(a\) - длина стороны, \(s\) - длина ребра призмы.

Подставим известные значения: \[a = \frac{{1}}{\sqrt{3}}\]

Теперь мы можем определить радиус основания цилиндра. Для этого мы воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности треугольника: \[R = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\], где \(R\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим известное значение длины стороны: \[R = \frac{{1/\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{1}}{{3}}\sqrt{3}\]

Таким образом, радиус основания цилиндра, который окружает правильную треугольную призму с ребром длиной 1 см, равен \(\frac{{1}}{{3}}\sqrt{3}\).

2) Определение радиуса основания и высоты цилиндра, помещенного внутри правильной треугольной призмы:
Чтобы поместить цилиндр внутри призмы, его основание должно касаться основания призмы. Известно, что основание призмы - это правильный треугольник со стороной длиной 1 см.

Радиус основания цилиндра, помещенного внутри призмы, будет равен радиусу описанной окружности правильного треугольника. Для определения радиуса описанной окружности нам также понадобится длина стороны треугольника.

Так как мы уже определили длину стороны равностороннего треугольника в первой части задачи, мы можем использовать этот же результат.

Радиус описанной окружности можно найти, используя формулу: \[R = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\]

Таким образом, радиус основания цилиндра, помещенного внутри правильной треугольной призмы с ребром длиной 1 см, равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\).

Высота цилиндра будет равна длине ребра призмы, так как цилиндр должен быть полностью помещен внутри призмы. В данном случае, высота цилиндра также будет равна 1 см.

Таким образом, высота цилиндра, помещенного внутри правильной треугольной призмы с ребром длиной 1 см, равна 1 см.

Ответ:
1) Радиус основания цилиндра, который окружает призму: \(\frac{{1}}{{3}}\sqrt{3}\)
2) Радиус основания цилиндра, который помещается внутри призмы: \(\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\)
Высота цилиндра, который помещается внутри призмы: 1 см.