1) Определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает. 1) y=3x-1 2) y=2x^2-5x 3) y=-x^3+3x^2 4) y=x^4-18x^2

Конечно, я могу помочь! Давайте решим каждую из задач по очереди.

1) Функция y = 3x - 1 - линейная функция. Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, необходимо проанализировать знак её производной. Дифференцируя функцию по x, получаем:

\[y" = d(3x - 1)/dx = 3.\]

Производная постоянна и положительна (3 > 0) на всей числовой прямой. Это означает, что функция возрастает на всем интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности.

2) Функция y = 2x^2 - 5x - квадратичная функция. Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, необходимо также проанализировать знак её производной. Дифференцируя функцию, получаем:

\[y" = d(2x^2 - 5x)/dx = 4x - 5.\]

Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает и убывает, нужно решить неравенство \(4x - 5 > 0.\) Решением этого неравенства будет интервал \(x > \frac{5}{4}\), то есть функция возрастает на интервале \((\frac{5}{4}, +\infty)\). Аналогичным образом анализируется знак производной для определения интервала убывания. В данном случае, \(x < \frac{5}{4}\) и функция убывает на интервале \((-\infty, \frac{5}{4})\).

3) Функция y = -x^3 + 3x^2 - кубическая функция. Вновь, нужно найти производную:

\[y" = d(-x^3 + 3x^2)/dx = -3x^2 + 6x.\]

Знак производной равен \(0\), когда \(-3x^2 + 6x = 0\). Факторизуем это уравнение и получим \(3x(-x + 2) = 0\). Из этого следует, что функция убывает при \(x < 0\) и \(x > 2\), и возрастает при \(0 < x < 2\).

4) Функция y = x^4 - 18x^2 - функция с четной степенью. Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, снова найдем производную:

\[y" = d(x^4 - 18x^2)/dx = 4x^3 - 36x.\]

Производная равна \(0\) при \(4x^3 - 36x = 0\). Факторизуем эту функцию и получим \(4x(x - 3)(x + 3) = 0\). Из этого следует, что функция убывает при \(x < -3\) и \(0 < x < 3\), и возрастает при \(-3 < x < 0\) и \(x > 3\).

5) Функция y = x^3 + 3x^2 - 24x + 1 - кубическая функция. Найдем производную:

\[y" = d(x^3 + 3x^2 - 24x + 1)/dx = 3x^2 + 6x - 24.\]

Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, нужно решить уравнение \(3x^2 + 6x - 24 > 0\). Факторизуем это уравнение и получим \((x + 4)(x - 2) > 0\). Из этого следует, что функция возрастает при \(x < -4\) и \(x > 2\), и убывает при \(-4 < x < 2\).

6) Функция y = (2x - 3) / (x - 2) - рациональная функция. Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает, нужно проанализировать знак производной. Дифференцируем функцию:

\[y" = d((2x - 3) / (x - 2))/dx.\]

После дифференцирования и упрощения получим:

\[y" = \frac{1}{(x - 2)^2}.\]

Заметим, что знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от числителя. Чтобы определить интервалы возрастания и убывания, нужно решить неравенство \(2x - 3 > 0\). Решая его, получаем интервал \(x > \frac{3}{2}\), что значит, что функция возрастает на интервале \((\frac{3}{2}, +\infty)\). Для определения интервала убывания решаем неравенство \(2x - 3 < 0\). Решение этого неравенства даёт интервал \((-\infty, \frac{3}{2})\), на котором функция убывает.

7) Функция y = -√x + 4 - квадратный корень с переменным аргументом. Прежде чем определить интервалы возрастания и убывания, нужно учесть ограничения на аргумент функции. Так как корень из отрицательного числа не определен в вещественных числах, то функция определена только на интервале \(x \geq 0\).

Теперь найдем производную:

\[y" = d(-\sqrt{x} + 4)/dx.\]

Дифференцируя и упрощая, получим:

\[y" = -\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Знак производной равен \(0\) при \(x = 0\). Заметим, что функция не имеет производной на интервале \(x \geq 0\), и поэтому невозможно определить интервалы возрастания и убывания.

8) Функция y = e^5x(x - 2) - экспоненциальная функция. Чтобы определить интервалы возрастания и убывания, снова найдем производную:

\[y" = d(e^5x(x - 2))/dx.\]

Дифференцируя и упрощая, получим:

\[y" = 5e^5x(x - 2) + e^5(x - 2).\]

Знак производной зависит от значения \(e^5x(x - 2)\). Изучим знак каждого множителя:

- Когда \(e^5x(x - 2) > 0\), производная положительна.
- Когда \(e^5x(x - 2) < 0\), производная отрицательна.
- Когда \(e^5x(x - 2) = 0\), производная равна нулю.

Мы знаем, что экспонента \(e^x\) всегда положительна. Теперь рассмотрим значение \(x(x - 2)\):

- Если \(x > 2\) или \(x < 0\), то \(x(x - 2) < 0\).
- Если \(0 < x < 2\), то \(x(x - 2) > 0\).
- Если \(x = 0\) или \(x = 2\), то \(x(x - 2) = 0\).

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция возрастает при \(x < 0\).
- Функция убывает при \(0 < x < 2\).
- Функция возрастает при \(x > 2\).

9) Функция y = cos(x) - 5 - тригонометрическая функция. Найдем производную:

\[y" = d(cos(x) - 5)/dx.\]

Дифференцируя и упрощая, получим:

\[y" = -\sin(x).\]

Знак производной зависит от значения \(\sin(x)\):

- Если \(\sin(x) > 0\), то производная отрицательна.
- Если \(\sin(x) < 0\), то производная положительна.
- Если \(\sin(x) = 0\), то производная равна нулю.

Зная, что \(\sin(x) > 0\) на интервалах \((0, \pi)\), \((2\pi, 3\pi)\), и так далее, и \(\sin(x) < 0\) на интервалах \((\pi,2\pi)\), \((3\pi, 4\pi)\), и так далее, можем сделать следующий вывод:

- Функция возрастает на интервалах \((0 + 2\pi n, \pi + 2\pi n)\), где \(n\) - целое число.
- Функция убывает на интервалах \((\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)\), где \(n\) - целое число.

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам лучше понять, на каких интервалах данные функции возрастают и убывают. Если у вас остались еще вопросы, буду рад помочь!