1. Обозначте параллелепипед как ABCDA1B1C1D1. Определите вектор, который является результатом сложения векторов

1. Если мы обозначим вектор АВ как \(\vec{AB}\), вектор А1D1 как \(\vec{A1D1}\) и вектор СА1 как \(\vec{CA1}\), то мы можем получить результат их сложения, складывая каждую компоненту по отдельности.

Начнем с вектора \(\vec{AB}\). Его компоненты будут равны разности координат точек B и A по каждой оси. Обозначим компоненты вектора \(\vec{AB}\) как \(x_1, y_1, z_1\).

Точка A имеет координаты (x, y, z), а точка B - (x", y", z"). Тогда компоненты вектора \(\vec{AB}\) можно выразить следующим образом:

\(x_1 = x" - x\),
\(y_1 = y" - y\),
\(z_1 = z" - z\).

Аналогично, векторы \(\vec{A1D1}\) и \(\vec{CA1}\) будут иметь следующие компоненты: \(x_2, y_2, z_2\) и \(x_3, y_3, z_3\) соответственно.

Теперь, чтобы найти результат суммы данных векторов, сложим их компоненты по отдельности:

\(x_{\text{результат}} = x_1 + x_2 + x_3\),
\(y_{\text{результат}} = y_1 + y_2 + y_3\),
\(z_{\text{результат}} = z_1 + z_2 + z_3\).

2. Для более простой формы выражения MN - PQ - NM + PT + RQ, применим коммутативность и ассоциативность сложения векторов.

Мы знаем, что \(a - b = - (b - a)\). Исходя из этого, выражение может быть переписано в виде:

MN - PQ - NM + PT + RQ = MN + (-PQ) - NM + PT + RQ

Ассоциативность сложения (a + b) + c = a + (b + c) позволяет перемещать группы векторов, не меняя суммы:

MN + (-PQ) - NM + PT + RQ = MN - NM - PQ + PT + RQ

Также, согласно свойству ассоциативности сложения (-a) + (-b) = -(a + b), можно переместить векторы MN и (-NM) в начало:

MN - NM - PQ + PT + RQ = (MN - NM) - PQ + PT + RQ

Выражение MN - NM представляет собой разность двух векторов, имеющих одно и то же начало, и поэтому равно вектору, направленному из конца MN в конец NM.
Обозначим его как \(\vec{M"N"}\). Теперь упростим выражение:

(MN - NM) - PQ + PT + RQ = \(\vec{M"N"}\) - PQ + PT + RQ

Таким образом, более простая форма данного выражения будет \(\vec{M"N"}\) - PQ + PT + RQ.