Какова площадь прямоугольника KLCD, если его диагональ равна 40 см и угол между диагоналями составляет 150°?

Для решения данной задачи нам потребуется использовать тригонометрию. Мы можем разбить прямоугольник на два треугольника, используя его диагонали. Затем, с помощью тригонометрических функций, найдем стороны прямоугольника и вычислим его площадь.

Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника KLCD как а и b. Поскольку диагональ равна 40 см, у нас есть следующее уравнение, используя теорему Пифагора:
\[а^2 + b^2 = 40^2\]

Шаг 2: Найдем угол между диагоналями, который составляет 150°. Затем найдем его смежный угол, который составляет 180° - 150° = 30°. Мы будем использовать смежный угол для нахождения значений тригонометрических функций.

Шаг 3: В прямоугольнике KLCD выпишем треугольник KJC с углом J = 30° (смежный угол). Мы знаем, что \(\sin(30°) = \frac{a}{40}\) и \(\cos(30°) = \frac{b}{40}\).

Шаг 4: Из уравнения синуса мы можем найти сторону а:
\[\frac{a}{40} = \sin(30°) \Rightarrow a = 40 \cdot \sin(30°)\]

Шаг 5: Из уравнения косинуса мы можем найти сторону b:
\[\frac{b}{40} = \cos(30°) \Rightarrow b = 40 \cdot \cos(30°)\]

Шаг 6: Теперь, когда у нас есть стороны прямоугольника a и b, мы можем вычислить его площадь, используя формулу:
\[S = a \cdot b\]

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольника KLCD:

\[S = (40 \cdot \sin(30°)) \cdot (40 \cdot \cos(30°))\]

Применяя тригонометрические функции к углу 30°:

\[\sin(30°) = \frac{1}{2}, \quad \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставляя значения в формулу:

\[S = (40 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\]

Упрощая:

\[S = 20 \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 800 \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Итак, площадь прямоугольника KLCD равна \(800 \sqrt{3} \, \text{см}^2\).