1. Необходимо перевычислить: а) sin(5π/4) б) tg(10π/3) в) cos(-7π/3) г) ctg(-9π/4). 2. Найдите решение следующих

1. Перевычисление тригонометрических функций:
а) Для перевычисления функции sin(5π/4) мы знаем, что sin(π/4) = √2/2. Так как 5π/4 находится в третьем квадранте, значение sin(5π/4) будет отрицательным. Таким образом, sin(5π/4) = -√2/2.

б) Чтобы вычислить tg(10π/3), мы можем использовать соотношение tg(10π/3) = sin(10π/3) / cos(10π/3). Значения sin(10π/3) и cos(10π/3) можно найти, используя свойства синуса и косинуса для угла второго квадранта. Получаем sin(10π/3) = √3/2, а cos(10π/3) = -1/2. Теперь мы можем вычислить tg(10π/3) = (√3/2) / (-1/2) = -√3.

в) Чтобы вычислить cos(-7π/3), мы можем использовать тот факт, что cos(-t) = cos(t). Значение cos(7π/3) можно найти с помощью тех же свойств синуса и косинуса. Мы находим cos(7π/3) = -1/2, поскольку угол 7π/3 находится в третьем квадранте. Таким образом, cos(-7π/3) = -1/2.

г) Чтобы вычислить ctg(-9π/4), мы можем использовать тот факт, что ctg(-t) = -ctg(t). Таким образом, ctg(-9π/4) = -ctg(9π/4). Значение ctg(9π/4) можно найти, используя соотношение ctg(t) = cos(t) / sin(t). Значения sin(9π/4) и cos(9π/4) можно найти, используя свойства синуса и косинуса. Получаем sin(9π/4) = -√2/2, а cos(9π/4) = -√2/2. Теперь мы можем вычислить ctg(9π/4) = (-√2/2) / (-√2/2) = 1.

2. Решение уравнений:
а) Условие для sint равно 3/√2. Мы знаем, что значение синуса угла не может быть больше 1. Таким образом, уравнение sin(t) = 3/√2 не имеет решений.

б) Условие для cost равно -√2/2. Мы знаем, что значение косинуса угла не может быть меньше -1. Таким образом, уравнение cos(t) = -√2/2 имеет решения на интервалах [-π/2, π/2] и [3π/2, 5π/2].

3. Перепишем тождество cos(-t)ctg(t) + sin(5π/t) в виде тригонометрического выражения. Используя те же свойства синуса, косинуса и тангенса, мы можем записать это тождество как cos(t) * (-cot(t)) + sin(π - t) = -cos(t) * cot(t) + sin(π - t).

4. Чтобы доказать эквивалентность выражений (tg(t) + ctg(t))sin(t)tg(t) и sin^(-1)(t), мы можем использовать свойства синуса, косинуса и тангенса. Выражение (tg(t) + ctg(t))sin(t)tg(t) =
((sin(t)/cos(t)) + (cos(t)/sin(t)))sin(t) * (sin(t)/cos(t)) = (sin(t)^2 / cos(t)) + (cos(t)^2 / sin(t)).
Используя тождество sin^2(t) + cos^2(t) = 1, мы можем заменить числитель в обоих членах выражения на 1. Получаем 1 / cos(t) + 1 / sin(t).
Далее, мы можем выразить 1 / cos(t) как sec(t) и 1 / sin(t) как csc(t). Получаем sec(t) + csc(t). Используя определения sec(t) = 1 / cos(t) и csc(t) = 1 / sin(t), мы получаем sin^(-1)(t).

5. Вычислите значение тригонометрической функции: -√75 - sin(1140º) + 4cos(780º) - ctg^2(30º).
Для вычисления этого выражения, мы можем использовать те же свойства синуса, косинуса и тангенса. Значение sin(1140º) равно sin(360º + 360º + 360º + 60º), что эквивалентно sin(60º) = √3/2. Значение cos(780º) равно cos(720º + 60º), что эквивалентно cos(60º) = 1/2. Значение ctg(30º) можно выразить как 1 / tan(30º) = 1 / (√3/3) = √3. Теперь мы можем подставить значения в исходное выражение:
-√75 - √3/2 + 4 * 1/2 - √3^2 = -√75 - √3/2 + 2 - 3 = -√75 - √3/2 - 1.

6. Пусть sin(t) = -23,3 π/2. Чтобы вычислить значение cos(t), мы можем использовать тот факт, что sin^2(t) + cos^2(t) = 1.
Используя данное значение sin(t), мы можем составить уравнение: (-23,3 π/2)^2 + cos^2(t) = 1.
Преобразовывая выражение, мы получаем cos^2(t) = 1 - (-23,3 π/2)^2.
Вычисляя правую часть уравнения, мы получаем cos^2(t) = 1 - 542,889 π^2. Поскольку мы знаем, что cos(t) ≥ 0 во втором и третьем квадрантах, мы можем взять положительный квадратный корень: cos(t) = √(1 - 542,889 π^2).
Теперь, чтобы найти значение tg(t) и ctg(t), мы можем использовать свойства тангенса и котангенса: tg(t) = sin(t) / cos(t) и ctg(t) = cos(t) / sin(t). Подставляем значения синуса и косинуса, и получаем tg(t) = (-23,3 π/2) / √(1 - 542,889 π^2) и ctg(t) = √(1 - 542,889 π^2) / (-23,3 π/2).

7. Для определения, существует ли число t, при котором выполняется sin(t) = √16 - √2, мы можем применить свойство синуса и вычислить значение на правой стороне уравнения: √16 - √2 = 4 - √2.
Мы знаем, что значение синуса угла не может быть больше 1. Таким образом, уравнение sin(t) = 4 - √2 не имеет решений.

8. Найдите решение... (Пожалуйста, укажите, к какому уравнению или задаче относится "8".)