1) Найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени путь Sо = 4 м, а его скорость задана уравнением

Конечно! Для начала, давайте выполним задачу номер 1. Дано уравнение для скорости \(v = t^2 - 6t + 7\), где \(t\) - время, а \(v\) - скорость точки.

Чтобы найти уравнение движения точки, нам необходимо проинтегрировать данное уравнение скорости \(v\) по времени \(t\).

\[\int v\, dt = \int (t^2 - 6t + 7)\, dt\]

Чтобы проинтегрировать это выражение, нам нужно найти первообразную для каждого слагаемого. Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[\int t^2\, dt = \frac{1}{3}t^3 + C_1\]
\[\int -6t\, dt = -3t^2 + C_2\]
\[\int 7\, dt = 7t + C_3\]

Здесь \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\) - постоянные интегрирования.

Суммируя эти результаты, получим:

\[\int v\, dt = \frac{1}{3}t^3 -3t^2 + 7t + C\]

где \(C = C_1 + C_2 + C_3\) - общая постоянная интегрирования.

Теперь, у нас есть уравнение для перемещения точки \(S\) в зависимости от времени \(t\):

\[S = \frac{1}{3}t^3 -3t^2 + 7t + C\]

Дано, что в начальный момент времени путь \(S_0 = 4\) метра. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти значение постоянной \(C\):

\[4 = \frac{1}{3}(0)^3 -3(0)^2 + 7(0) + C\]
\[4 = C\]

Таким образом, окончательное уравнение движения точки будет:

\[S = \frac{1}{3}t^3 -3t^2 + 7t + 4\]

Теперь перейдем к задаче номер 2. Здесь дано, что скорость \(v\) и путь \(S_0\) заданы уравнением \(v = t^2 - t\).

Аналогично предыдущей задаче, нам нужно проинтегрировать уравнение скорости \(v\) по времени \(t\), чтобы найти уравнение движения. Проинтегрируем это выражение:

\[\int v\, dt = \int (t^2 - t)\, dt\]

Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[\int t^2\, dt = \frac{1}{3}t^3 + C_4\]
\[\int -t\, dt = -\frac{1}{2}t^2 + C_5\]

Суммируя эти результаты, получим:

\[\int v\, dt = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + C\]

где \(C = C_4 + C_5\) - общая постоянная интегрирования.

Теперь, у нас есть уравнение для пути \(S\) в зависимости от времени \(t\):

\[S = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + C\]

Как и раньше, подставим значение начального пути \(S_0\) в уравнение, чтобы найти значение постоянной \(C\). Допустим, \(S_0 = 4\) метра:

\[4 = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 + C\]
\[4 = C\]

Таким образом, окончательное уравнение движения точки будет:

\[S = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + 4\]

Это и есть уравнение движения точки в зависимости от времени для задачи номер 2.