1. Найти точки, в которых функция имеет нулевую производную: f(x)=x^5/5-4/3*x^3+9 2. Найти точки экстремума функции

1. Чтобы найти точки, в которых функция имеет нулевую производную, мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю. Давайте найдем производную функции f(x):

\[f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^5}{5} - \frac{4}{3}x^3 + 9\right)\]

Для этого мы будем использовать правила дифференцирования элементарных функций. Давайте посчитаем:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^5}{5}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}(9)\]

\[f"(x) = \frac{1}{5}\frac{d}{dx}(x^5) - \frac{4}{3}\frac{d}{dx}(x^3) + 0\]

Теперь возьмем производную от каждого слагаемого:

\[f"(x) = \frac{1}{5}\cdot 5x^4 - \frac{4}{3}\cdot 3x^2\]

\[f"(x) = x^4 - 4x^2\]

2. Теперь найдем точки экстремума функций а) \(f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17\) и б) \(f(x) = x^3 + \frac{3}{x} - 12\). Чтобы найти точки экстремума, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение.

а) \(f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17) = 12x^3 + 12x^2 - 24x\]
Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[12x^3 + 12x^2 - 24x = 0\]
\[12x(x^2 + x - 2) = 0\]
\[12x(x - 1)(x + 2) = 0\]
Таким образом, точки экстремума функции а) - это x = 0, x = 1 и x = -2.

б) \(f(x) = x^3 + \frac{3}{x} - 12\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}\left(x^3 + \frac{3}{x} - 12\right) = 3x^2 - \frac{3}{x^2}\]
Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[3x^2 - \frac{3}{x^2} = 0\]
\[3x^4 - 3 = 0\]
\[x^4 - 1 = 0\]
Факторизуем это уравнение:
\[(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0\]
\[(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0\]
Таким образом, точки экстремума функции б) - это x = 1 и x = -1.

3. Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, мы должны проанализировать знак производной.

\[f"(x) = x^4 - 4x^2\]

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нам нужно найти значения x, при которых производная положительна (+) и отрицательна (-).

Давайте найдем такие значения:

\[x^4 - 4x^2 > 0\]
\[x^2(x^2 - 4) > 0\]
\[x^2(x - 2)(x + 2) > 0\]

Это уравнение имеет ноль при x = 0, x = -2 и x = 2. Мы можем построить таблицу знаков, чтобы найти интервалы возрастания и убывания:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& (-\infty, -2) & (-2, 0) & (0, 2) & (2, +\infty) \\
\hline
x^2(x - 2)(x + 2) & - & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем сказать, что функция возрастает на интервалах (-2, 0) и (2, +\infty), а убывает на интервалах (-\infty, -2) и (0, 2).

4. Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке [0;3], мы должны вычислить значения функции в точках и промежутках между ними, а затем выбрать максимальное и минимальное значение.

Подставим значения \(x = 0\) и \(x = 3\) в функцию \(f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 10x + 9\):

\[f(0) = -\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{7}{2}(0)^2 - 10(0) + 9 = 9\]

\[f(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{7}{2}(3)^2 - 10(3) + 9 = -\frac{9}{3} + \frac{63}{2} - 30 + 9 = 11.5\]

Теперь оценим значения функции во всех целых точках между 0 и 3:

\[f(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{7}{2}(1)^2 - 10(1) + 9 = -\frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 10 + 9 = -\frac{1}{3} + \frac{14}{2} - 1 = 5.167\]

\[f(2) = -\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{7}{2}(2)^2 - 10(2) + 9 = -\frac{8}{3} + \frac{28}{2} - 20 + 9 = -\frac{8}{3} + 14 - 20 + 9 = -\frac{8}{3} + 23 - 20 = -\frac{8}{3} + 3 = 1\]

Итак, на отрезке [0;3] минимальное значение функции равно 1, а максимальное значение равно 11.5.

5. Для построения графика функции \(f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2\) мы можем использовать метод составления таблицы значений или построение графика с использованием основных точек и поведения функции.

Давайте начнем со значения функции при \(x = 0\):

\[f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2\]

Подставив несколько других значений \(x\) в функцию, мы можем получить остальные точки:

\[f(-2) = -(-2)^3 + 3(-2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2\]

\[f(1) = -(1)^3 + 3(1)^2 - 2 = -1 + 3 - 2 = 0\]

\[f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 - 2 = -27 + 27 - 2 = -2\]

Теперь используя эти точки, мы можем построить график функции:

\[ \begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-2 & 2 \\
0 & -2 \\
1 & 0 \\
3 & -2 \\
\end{array} \]

\[
\begin{array}{c}
\begin{xy}
\begin{axis}[
xlabel = {x},
ylabel = {f(x)},
xmin = -3,
xmax = 4,
ymin = -4,
ymax = 3,
xtick = {-2, 0, 1, 3},
ytick = {-2, 0, 2},
grid = both,
minor tick num = 1,
]
\addplot[blue,thick]{-x^3 + 3*x^2 - 2};
\end{axis}
\end{xy}
\end{array}
\]

Это график функции \(f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2\)