Подтвердите, что уравнение √x^2-2x-3 · ㏒₂(1-x²) =0 не имеет решений

Давайте рассмотрим данное уравнение и попробуем подтвердить, что оно не имеет решений.

Уравнение имеет вид: \(\sqrt{x^2-2x-3} \cdot \log_2(1-x^2) = 0\)

Чтобы уравнение равнялось нулю, необходимо, чтобы один из множителей равнялся нулю.

1) Рассмотрим первый множитель:
\(\sqrt{x^2-2x-3} = 0\)

Для того чтобы корень равнялся нулю, необходимо, чтобы аргумент под корнем тоже был равен нулю:
\(x^2-2x-3=0\)

Теперь решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена.

Используем формулу дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac\)
где у нас \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)\)
\(D = 4 + 12\)
\(D = 16\)

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня.

Применяем формулу корней:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\)
\(x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2}\)
\(x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\)
\(x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

Таким образом, первый множитель не равен нулю. Перейдем ко второму множителю.

2) Рассмотрим второй множитель:
\(\log_2(1-x^2) = 0\)

Выражение выше равно нулю только в том случае, если основание логарифма равно 1. Основание логарифма не может быть равным 1, поэтому этот множитель не может быть равен нулю.

Таким образом, оба множителя уравнения не могут быть равны нулю, следовательно, уравнение \(\sqrt{x^2-2x-3} \cdot \log_2(1-x^2) = 0\) не имеет решений.

Надеюсь, эта подробная информация помогла понять, почему данное уравнение не имеет решений. Я готов помочь вам в изучении математики.