1) Найти объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если в нем ∠BDA равно 30°, DD1 равно 5 см и AB равно 12 см. 2) Определить

1) Для нахождения объема параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 нам необходимо знать его высоту. В данном случае, нам дано, что угол BDA равен 30°, DD1 равно 5 см и AB равно 12 см.

Для нахождения высоты, мы можем использовать тригонометрию. Заметим, что треугольник BDD1 является прямоугольным. Исходя из этого, мы можем использовать тангенс угла BDD1, чтобы найти высоту BD.

Тангенс угла BDD1 можно найти следующим образом:
\[tan(30°) = \frac{{BD}}{{DD1}}\]
\[\frac{{BD}}{{5}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{1}}\]
\[BD = 5 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{1}} = 5\sqrt{3}\]

Теперь, когда мы знаем высоту BD, мы можем найти объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, используя формулу:
\[V = AB \cdot BD \cdot DD1\]
\[V = 12 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = 60\sqrt{3}\]см³

Таким образом, объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен \(60\sqrt{3}\) см³.

2) Для нахождения объема параллелепипеда DEFGD1E1F1G1 нам необходимо знать его высоту и длину диагонали основания. В данном случае, нам дано, что DE равно 3 см, DG равно 4 см и угол между диагональю и основанием равен 45°.

Для нахождения высоты, мы можем использовать тригонометрию. Заметим, что у нас имеется прямоугольный треугольник DGE, где DE - катет, DG - гипотенуза, а угол D тупой. Исходя из этого, мы можем использовать синус угла DGE, чтобы найти высоту DG.

Синус угла DGE можно найти следующим образом:
\[sin(45°) = \frac{{DE}}{{DG}}\]
\[\frac{{DE}}{{4}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\]
\[DE = 4 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = 2\sqrt{2}\]

Теперь, когда мы знаем высоту DE, мы можем найти объем параллелепипеда DEFGD1E1F1G1, используя формулу:
\[V = DE \cdot DG \cdot GE\]
\[V = 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot 3 = 24\sqrt{2}\]см³

Таким образом, объем параллелепипеда DEFGD1E1F1G1 равен \(24\sqrt{2}\) см³.

3) Для нахождения объема новой призмы нам дано, что объем прямой девятиугольной призмы равен 40 см³, площадь основания увеличили в 7 раз, а высоту уменьшили в 10 раз.

Обозначим объем новой призмы как \(V_1\), площадь основания новой призмы как \(S_1\), объем прямой девятиугольной призмы как \(V_0\) и площадь основания прямой девятиугольной призмы как \(S_0\).

Известно, что:
\[V_1 = V_0\]
\[S_1 = 7S_0\]
\[H_1 = \frac{1}{10}H_0\]

Объем призмы вычисляется по формуле:
\[V = S \cdot H\]

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:
\[V_1 = S_1 \cdot H_1\]
\[V_0 = S_0 \cdot H_0\]

Подставим известные значения:
\[40 = 7S_0 \cdot \frac{1}{10}H_0\]
\[40 = \frac{7}{10}S_0H_0\]

Теперь, с помощью этих уравнений, мы можем найти соотношение между объемами и площадями оснований:
\[\frac{V_1}{V_0} = \frac{S_1 \cdot H_1}{S_0 \cdot H_0}\]
\[\frac{V_1}{V_0} = \frac{7S_0 \cdot \frac{1}{10}H_0}{S_0 \cdot H_0}\]
\[\frac{V_1}{V_0} = \frac{7}{10}\]

Теперь мы можем найти объем новой призмы:
\[V_1 = \frac{7}{10}V_0\]
\[V_1 = \frac{7}{10} \cdot 40\]
\[V_1 = 28\]см³

Таким образом, объем новой призмы равен 28 см³.

4) Для нахождения объема правильной треугольной призмы нам дано, что сторона основания равна 2 см, а диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания.

Известно, что объем треугольной призмы вычисляется по формуле:
\[V = \frac{1}{4}a \cdot s \cdot d\]

Где a - сторона основания, s - площадь одной боковой грани, d - диагональ боковой грани.

Для нахождения объема, мы должны вычислить s и d. Заметим, что в правильной треугольной призме с высотой, опущенной из вершины основания, мы можем разделить боковую грань на два равнобедренных треугольника. У нас уже есть сторона основания a, поэтому мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы найти s и d.

Сначала найдем площадь одной боковой грани s. Заметим, что в правильной треугольной призме основание является равносторонним треугольником, поэтому площадь одной боковой грани равна площади равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника можно найти следующим образом:
\[s = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]
\[s = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2\]
\[s = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4\]
\[s = \sqrt{3}\]см²

Теперь найдем диагональ боковой грани d. Заметим, что диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти диагональ.

Заметим, что треугольник с углом 60 градусов, у основания которой сторона равна a, является равносторонним треугольником. Таким образом, диагональ равна стороне основания a.
\[d = a = 2\]см

Теперь мы можем найти объем треугольной призмы:
\[V = \frac{1}{4} \cdot a \cdot s \cdot d\]
\[V = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2\]
\[V = \frac{4\sqrt{3}}{4}\]
\[V = \sqrt{3}\]см³

Таким образом, объем правильной треугольной призмы равен \(\sqrt{3}\) см³.

5) Чтобы определить, каким должен быть размер, необходимо больше информации. Пожалуйста, предоставьте дополнительные сведения о задаче.