1) Найти новый вектор, полученный путем линейной комбинации векторов a, b, c и d с коэффициентами 2, -3, 4

Хорошо! Давайте решим эти задачи по порядку.

1) Чтобы найти новый вектор, полученный путем линейной комбинации векторов a, b, c и d, мы должны умножить каждый вектор на соответствующий коэффициент и сложить результаты.

Итак, пусть \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Тогда новый вектор \(\mathbf{v}\) может быть найден следующим образом:

\[
\mathbf{v} = 2\mathbf{a} + (-3)\mathbf{b} + 4\mathbf{c} + \mathbf{d}
\]

Выполняем вычисления:

\[
\mathbf{v} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + (-3) \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ -9 \\ -15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -10 \\ -18 \\ -9 \end{pmatrix}
\]

Таким образом, новый вектор \(\mathbf{v}\) имеет координаты (-10, -18, -9).

2) Для вычисления длины вектора используем формулу длины вектора:

\[
\left\lVert \mathbf{v} \right\rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
\]

Вычислим длину каждого вектора:

a) Для вектора a:
\(\left\lVert \mathbf{a} \right\rVert = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30} \approx 5.48\).

b) Для вектора b:
\(\left\lVert \mathbf{b} \right\rVert = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.07\).

c) Для вектора c:
\(\left\lVert \mathbf{c} \right\rVert = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.41\).

Таким образом, длины векторов равны приближенно \(5.48\), \(7.07\) и \(1.41\) соответственно.

3) Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы можем использовать следующую формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\lVert \mathbf{a} \right\rVert \cdot \left\lVert \mathbf{b} \right\rVert}
\]

где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - это скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Вычислим косинус угла между векторами a и b:

\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\lVert \mathbf{a} \right\rVert \cdot \left\lVert \mathbf{b} \right\rVert} = \frac{(2 \cdot 4) + (-5 \cdot 3) + (1 \cdot 5)}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{50}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{8 - 15 + 5}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-2}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{50}}
\]

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен \(\frac{-2}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{50}}\).

Выполним вычисление косинуса угла между векторами a и c:

\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}}{\left\lVert \mathbf{a} \right\rVert \cdot \left\lVert \mathbf{c} \right\rVert} = \frac{(2 \cdot -1) + (-5 \cdot 0) + (1 \cdot 1)}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{2}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{-2 + 0 + 1}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{2}}
\]

Таким образом, косинус угла между векторами a и c равен \(\frac{-1}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{2}}\).

Спасибо за внимание!