1. Найти НОД двух чисел: число 8 повторяется 89 раз, число 6 повторяется 2500 раз. 2. Найти решение уравнения в целых

1. Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, необходимо разложить числа на простые множители и найти их общие множители. Давайте начнем с разложения числа 8 повторяющегося 89 раз:

8 = 2^3

Теперь разложим число 6, повторяющееся 2500 раз:

6 = 2 * 3

Общий множитель для этих чисел - число 2, поскольку оно является единственным общим простым множителем. Таким образом, НОД для чисел 8 и 6 равен 2.

2. Чтобы найти решение уравнения 45x + 31y = 2 в целых числах, воспользуемся алгоритмом расширенного алгоритма Евклида. Этот алгоритм позволяет находить НОД двух чисел и одновременно находить их линейное представление. Применим алгоритм к числам 45 и 31:

Шаг 1:

45 = 31 * 1 + 14

Шаг 2:

31 = 14 * 2 + 3

Шаг 3:

14 = 3 * 4 + 2

Шаг 4:

3 = 2 * 1 + 1

Шаг 5:

2 = 1 * 2 + 0

Теперь воспользуемся обратной последовательностью этих равенств, чтобы выразить НОД через изначальные числа:

Шаг 4:

1 = 3 - 2 * 1

Шаг 3:

1 = 3 - (14 - 3 * 4) * 1

Шаг 2:

1 = 3 * 5 - 14

Шаг 1:

1 = (31 - 14 * 2) * 5 - 14

Подставим первоначальные значения чисел 45 и 31:

1 = (31 - 14 * 2) * 5 - 14

1 = 31 * 5 - 14 * 10 - 14

Теперь умножим обе части уравнения на 2, чтобы получить коэффициенты при x и y:

чтобы получить x

2 = 31 * 10 - 14 * 20 - 28
2 = 310 - 280 - 28
2 = 2

x = 2

чтобы получить y

2 = 31 * 5 - 14 * 10 - 14
2 = 155 - 140 - 14
2 = 15 - 14
2 = 1

y = 1

Таким образом, решение уравнения 45x + 31y = 2 в целых числах: x = 2, y = 1.

3. Для решения задачи линеаризации НОД трех чисел 1734, 424 и 106 воспользуемся свойством линейной комбинации НОД:

НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c)

Первым шагом найдем НОД для чисел 1734 и 424:

1734 = 424 * 4 + 138

Следующий шаг будет состоять в нахождении НОД для чисел 424 и 138:

424 = 138 * 3 + 10

На последнем шаге найдем НОД для чисел 138 и 10:

138 = 10 * 13 + 8

Теперь воспользуемся свойством линейной комбинации НОД для нахождения итоговой линейной комбинации:

8 = 138 - 10 * 13

8 = 138 - 10 * (424 - 138 * 3)

8 = 138 - 10 * 424 + 30 * 138

8 = 31 * 138 - 10 * 424

Подставим значения для 138 и 424:

8 = 31 * 138 - 10 * 424

8 = 31 * 138 - 10 * 424

8 = 4298 - 4240

8 = 58

Таким образом, линейная комбинация НОД для чисел 1734, 424 и 106 равна 58.

4. Для нахождения значения \(\log_5 32\) в кольце классов вычетов по модулю 43 с использованием метода Шэнкса, мы должны найти такое число \(x\), чтобы \(5^x \equiv 32 \mod 43\).

Сначала вычислим значения для степеней числа 5 по модулю 43:

\[
\begin{align*}
5^0 &\equiv 1 \mod 43 \\
5^1 &\equiv 5 \mod 43 \\
5^2 &\equiv 25 \mod 43 \\
5^3 &\equiv 19 \mod 43 \\
5^4 &\equiv 40 \mod 43 \\
5^5 &\equiv 18 \mod 43 \\
5^6 &\equiv 36 \mod 43 \\
5^7 &\equiv 34 \mod 43 \\
5^8 &\equiv 10 \mod 43 \\
5^9 &\equiv 22 \mod 43 \\
5^{10} &\equiv 11 \mod 43 \\
\end{align*}
\]

Продолжим вычисления и составим таблицу значений степеней числа 5:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Степень} & \text{Значение (mod 43)} \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 5 \\
2 & 25 \\
3 & 19 \\
4 & 40 \\
5 & 18 \\
6 & 36 \\
7 & 34 \\
8 & 10 \\
9 & 22 \\
10 & 11 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что при \(x = 6\) получается \(5^x \equiv 36 \equiv 32 \mod 43\). То есть \(\log_5 32\) равняется 6 в кольце классов вычетов по модулю 43 с использованием метода Шэнкса.

5. Для нахождения значения \(\log_7 27\) в кольце классов вычетов по модулю 61 с использованием метода Полига-Силвера-Хеллмана, мы должны найти такое число \(x\), чтобы \(7^x \equiv 27 \mod 61\).

Сначала разложим 61 - 1 на простые множители: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). Затем посчитаем значения для \(7^{\frac{60}{2^i}} \mod 61\):

\[
\begin{align*}
7^{30} &\equiv 60 \mod 61 \\
7^{15} &\equiv 56 \mod 61 \\
7^{7} &\equiv 2 \mod 61 \\
\end{align*}
\]

Теперь построим цепочку значений, начиная с \(27 \equiv 7^3 \mod 61\):

\[
\begin{align*}
27 &\equiv 7^3 \mod 61 \\
&\equiv 7^{2 \cdot 15 + 3} \mod 61 \\
&\equiv (7^{15})^2 \cdot 7^3 \mod 61 \\
&\equiv 56^2 \cdot 343 \mod 61 \\
&\equiv 56^2 \cdot 19 \mod 61 \\
&\equiv 15 \cdot 19 \mod 61 \\
&\equiv 285 \mod 61 \\
&\equiv 1 \mod 61 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, \(\log_7 27\) равняется 3 в кольце классов вычетов по модулю 61 с использованием метода Полига-Силвера-Хеллмана.

6. Чтобы проверить, является ли число 172189 простым или составным с использованием метода выделения множителей Ферма, нам нужно проверить, существует ли такое целое число \(a\), что:

\[a^2 \equiv 172189 \mod 172189\]

Начнем с поиска квадрата числа 172189:

\[a^2 \equiv 172189 \mod 172189\]

Заметим, что число 172189 равно 13 помноженное на 13245. Также заметим, что 13245 равно 3 помноженное на 53*83:

\[13 = 3 \cdot 53 \cdot 83\]

Теперь вернемся к оригинальному уравнению и заменим 172189 на его факторизацию:

\[a^2 \equiv 3^2 \cdot 53^2 \cdot 83^2 \mod 172189\]

\[a^2 \equiv (3 \cdot 53 \cdot 83)^2 \mod 172189\]

\[a^2 \equiv 13^2 \mod 172189\]

Следовательно, чтобы проверить число 172189 на простоту или составность с использованием метода выделения множителей Ферма, нам нужно найти такое целое число \(a\), что \(a^2 \equiv 169 \mod 172189\). Очевидно, что \(13^2 \equiv 169 \mod 172189\). Это означает, что число 172189 является составным, а не простым числом.