1) Найти длину гипотенузы ds прямоугольного треугольника des, если угол s равен 30°, угол e равен 90°, а катет de равен

Давайте начнем с первой задачи.

1) Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, по формуле \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

У нас уже есть заданный угол \(s = 30°\), угол \(e = 90°\) и длина катета \(de = 6,5\) см.

Так как угол \(e\) равен 90°, то мы знаем, что гипотенуза прямоугольного треугольника будет совпадать с катетом \(de\) и равняться 6,5 см.

Ответ на задачу 1): Длина гипотенузы \(ds\) прямоугольного треугольника \(des\) равна 6,5 см.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) В равнобедренном треугольнике, у которого угол при вершине равен 120°, высота, проведенная к боковой стороне, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. То есть, если высота равна 13 см, то катеты прямоугольных треугольников также будут равны 13 см.

Для нахождения длины основания равнобедренного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора. Пусть \(b\) - длина основания треугольника. Тогда, по формуле \(b^2 = 2 \cdot a^2\), где \(a\) - длина катета прямоугольного треугольника, которая равна 13 см.

Вычислим длину основания:

\[b = \sqrt{2 \cdot a^2} = \sqrt{2 \cdot 13^2} = \sqrt{2 \cdot 169} = \sqrt{338} \approx 18,38\] см.

Ответ на задачу 2): Длина основания равнобедренного треугольника равна примерно 18,38 см.

Перейдем к третьей задаче.

3) У нас есть прямоугольный треугольник с одним углом, равным 60 градусов. По условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна \(x\) (x - некоторое число).

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить гипотенузу через меньший катет. Пусть \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) - длина меньшего катета. Тогда, по формуле \(c^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2\), так как острый угол в треугольнике равен 60 градусов, а значит, меньший катет равен \(a\), а больший катет равен \(a\sqrt{3}\).

Дано, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна \(x\).

\[c + a = x\]

Подставим выражение для гипотенузы \(c\) через меньший катет \(a\) в уравнение:

\[\sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} + a = x\]

\[a\sqrt{1 + 3} + a = x\]

\[a\sqrt{4} + a = x\]

\[2a + a = x\]

\[3a = x\]

\[a = \frac{x}{3}\]

Теперь найдем длину гипотенузы, подставив значение \(a\) в выражение для гипотенузы:

\[c = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{(\frac{x}{3})^2 + (\frac{x}{3}\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{x^2}{9} + \frac{x^2}{9} \cdot 3} = \sqrt{\frac{x^2}{9} + \frac{3x^2}{9}} = \sqrt{\frac{4x^2}{9}} = \frac{2x}{3}\]

Ответ на задачу 3): Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна \(\frac{2x}{3}\).