1) Найти 23-й член арифметической прогрессии (АП), если первый член (а₁) равен -15 и разность (d) равна 3. 2) Найти

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для нахождения 23-го члена арифметической прогрессии (АП) с первым членом -15 и разностью 3, мы можем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - порядковый номер члена прогрессии.

Подставляя значения из условия, получаем:

\[a_{23} = -15 + (23 - 1) \cdot 3\]
\[a_{23} = -15 + 22 \cdot 3\]
\[a_{23} = -15 + 66\]
\[a_{23} = 51\]

Таким образом, 23-й член арифметической прогрессии равен 51.

2) Для нахождения 26-го члена арифметической прогрессии, где первые два члена равны -9 и -6, мы можем использовать формулу, которая зависит от разности между первыми двумя членами прогрессии:

\[d = a_2 - a_1\]

Подставляя значения из условия, получаем:

\[d = -6 - (-9)\]
\[d = -6 + 9\]
\[d = 3\]

Таким образом, разность прогрессии равна 3.

Затем, мы можем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставляя значения из условия, получаем:

\[a_{26} = -9 + (26 - 1) \cdot 3\]
\[a_{26} = -9 + 25 \cdot 3\]
\[a_{26} = -9 + 75\]
\[a_{26} = 66\]

Таким образом, 26-й член арифметической прогрессии равен 66.

3) Чтобы найти сумму первых 16 членов арифметической прогрессии, заданной последовательностью 8, 4, 0..., мы сначала найдем разность прогрессии.

Разность прогрессии \(d\) равна разнице между вторым и первым членами:

\(d = 4 - 8 = -4\)

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - \(n\)-й член, \(n\) - количество членов.

Подставляя значения из условия, получаем:

\[S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (8 + a_{16})\]

Мы знаем, что \(a_{16} = a_1 + (16 - 1) \cdot d\), подставим это:

\[S_{16} = 8 + \frac{16}{2} \cdot (8 + (a_1 + (16 - 1) \cdot d))\]

Теперь заменим \(a_1\) на его значение из последовательности, \(d\) на значение разности, и упростим выражение:

\[S_{16} = 8 + \frac{16}{2} \cdot (8 + (-4 + (16 - 1) \cdot (-4)))\]

\[S_{16} = 8 + 8 \cdot (8 - 4 + 15 \cdot (-4))\]

\[S_{16} = 8 + 8 \cdot (8 - 4 - 60)\]

\[S_{16} = 8 + 8 \cdot (-56)\]

\[S_{16} = 8 - 448\]

\[S_{16} = -440\]

Таким образом, сумма первых 16 членов арифметической прогрессии равна -440.

4) Чтобы найти сумму первых 61 члена последовательности, заданной формулой \(b_p = 3p - 1.5\), мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - \(n\)-й член, \(n\) - количество членов.

В данном случае, каждый член \(b_p\) задается формулой \(3p - 1.5\), поэтому чтобы найти первый и \(n\)-й члены, мы можем подставить соответствующие значения в эту формулу:

Первый член \(a_1\):

\(a_1 = b_1 = 3 \cdot 1 - 1.5 = 1.5\)

\(n\)-й член \(a_n\):

\(a_n = b_n = 3n - 1.5\)

Теперь, используя формулу для суммы первых \(n\) членов, мы можем выразить сумму первых 61 члена:

\[S_{61} = \frac{61}{2} \cdot (1.5 + a_{61})\]

Мы знаем, что \(a_{61} = b_{61}\), поэтому подставим это:

\[S_{61} = \frac{61}{2} \cdot (1.5 + (3 \cdot 61 - 1.5))\]

\[S_{61} = \frac{61}{2} \cdot (1.5 + 182 - 1.5)\]

\[S_{61} = \frac{61}{2} \cdot (182)\]

\[S_{61} = 61 \cdot 91\]

\[S_{61} = 5561\]

Таким образом, сумма первых 61 члена заданной последовательности равна 5561.

5) Чтобы найти первый член и разность арифметической прогрессии (АП), зная пятый член равный 16 и девятый член равный 28, мы можем использовать систему уравнений.

Пятый член \(a_5\):

\[a_5 = a_1 + 4d = 16\]

Девятый член \(a_9\):

\[a_9 = a_1 + 8d = 28\]

Мы можем решить эту систему уравнений, вычитая первое уравнение из второго:

\[(a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) = 28 - 16\]

\[4d = 12\]

\[d = 3\]

Теперь, зная разность \(d\), мы можем подставить это в первое уравнение и найти первый член \(a_1\):

\[a_1 + 4\cdot3 = 16\]

\[a_1 + 12 = 16\]

\[a_1 = 4\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 4, а разность равна 3.

6) Для нахождения 18-го члена арифметической прогрессии, где первый член \(a_1\) равен 70 и разность \(d\) равна \(d\), мы можем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставляя значения из условия, получаем:

\[a_{18} = 70 + (18 - 1) \cdot d\]

Так как значение разности \(d\) не указано, мы не можем найти конкретное значение. Однако, если разность \(d\) известна, мы можем использовать эту формулу для расчета \(n\)-го члена.

Пожалуйста, уточните значение разности \(d\), чтобы я мог продолжить решение задачи.